Question

電動機通過一繩子吊起質(zhì)量為8kg的物體，繩的拉力不能超過120N，電動機的功率不能超過1200W，要將此物體由靜止起用最快的方式吊高90m（已知此物體在被吊高接近90m時，已開始以最大速度勻速上升，g=10m/s²）求：
（1）重物上升過程中的最大速度為多少？
（2）物體由靜止起用最快的方式吊高90m所需時間為多少？

Answer 1

分析：此題可以用機車起動類問題的思路，即將物體吊高分為兩個過程處理，第一過程是以繩所能承受的最大拉力拉物體，使物體勻加速上升，第一個過程結(jié)束時，電動機剛達到最大功率，第二個過程是電動機一直以最大功率拉物體，拉力逐漸減小，當拉力等于重力時，物體開始勻速上升，在勻加速運動過程中，加速度恒定不變．當加速度為零時，速度達最大，由功率公式可求出最大速度．

解答：解：（1）物體勻速時，速度達最大，牽引力等于重力，F(xiàn)=mg；
由功率公式可得：P=Fv_m
v_m=

Pm

F

=

1200

8×10

=15m/s；
（2）由牛頓第二定律可得：
a=

Fm-mg

m

=

120-80

8

=5m/s²；
末速度v_t=

Pm

Fm

=

1200

120

=10 m/s
上升的時間t₁=

vt

a

=

10

5

s=2 s
上升高度為h=

vt2

2a

=

102

2×5

=10 m
在功率恒定的過程中，最后勻速運動的速率為
v_m=

Pm

F

=

Fm

mg

=

1200

8×10

=15 m/s
由動能定理得P_mt₂-mgh₂=

1

2

mv_m²-

1

2

mv_t²
代入數(shù)據(jù)后解得t₂=5.75 s，所以t=t₁+t₂=7.75 s
所需時間至少為7.75 s
答：（1）最大速度為15m/s；
（2）所需最小時間為7.75s．

點評：本題中物體雖然為豎直向上運動，但可以適用由機車啟動問題進行解決．