Question

如圖所示，ABC是一條由半圓和一段斜面組成的光滑軌道，A、B兩點(diǎn)在同一豎直線上，且已知半圓半徑為R，今在水平面某一點(diǎn)P處拋出一個(gè)小球，使它恰好從A點(diǎn)進(jìn)入軌道，在B點(diǎn)處無(wú)能量損失，最后沿斜面上升到高度為H處，試求小球拋出點(diǎn)P的位置，拋射速度V及拋射角θ

Answer 1

分析：1、此題可采用逆向思維法，即反演法，假設(shè)小球由斜面上高H處自由滑下，經(jīng)過(guò)B點(diǎn)到A點(diǎn)，從A點(diǎn)飛出做平拋運(yùn)動(dòng)，落地點(diǎn)即為要求的P點(diǎn)，由C點(diǎn)到A點(diǎn)的過(guò)程中機(jī)械能守恒定律可解得到達(dá)A點(diǎn)的速度，小球從A點(diǎn)到P點(diǎn)運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可求得水平射程，即B與P點(diǎn)的距離．
2、由A點(diǎn)到P點(diǎn)平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒可解得P點(diǎn)的速度．
3、小球落地時(shí)速度與水平方向夾角為拋射角，根據(jù)直角三角形知識(shí)求解拋射角．

解答：解：采取逆向思維法：
假設(shè)小球由斜面上高H處自由滑下，經(jīng)過(guò)B點(diǎn)到A點(diǎn)，從A點(diǎn)飛出做平拋運(yùn)動(dòng)，落地點(diǎn)即為要求的P點(diǎn)，
落地點(diǎn)的速度與拋射速度大小相等而方向相反，
則由C點(diǎn)到A點(diǎn)的過(guò)程中機(jī)械能守恒定律可得：
mgH=2mgR+

1

2

m

v

2 A

得：vA=

2g(H-2R)

小球從A點(diǎn)到P點(diǎn)的平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程，有
s=v_At
2R=

1

2

gt2
則t=2

R g

s=2

2R(H-2R)

即P距離B點(diǎn)為2

2R(H-2R)

．
由A點(diǎn)到P點(diǎn)平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒得：
2mgR=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 A

解得：v=

2gH

小球落地時(shí)速度與水平方向夾角與拋射角相等，即
θ=arccos

vA

v

=arccos

H-2R H

答：小球拋出點(diǎn)P距離B點(diǎn)為2

2R(H-2R)

．
拋射速度為

2gH

，
拋射角為arccos

H-2R H

．

點(diǎn)評(píng)：此題還可以用動(dòng)能定理研究，動(dòng)能定理的優(yōu)點(diǎn)在于適用任何運(yùn)動(dòng)包括曲線運(yùn)動(dòng)．一個(gè)題目可能需要選擇不同的過(guò)程多次運(yùn)用動(dòng)能定理研究．這個(gè)題目也可以應(yīng)用動(dòng)能定理直接研究C點(diǎn)到P點(diǎn)．