Question

【題目】電磁爐專用平底鍋的鍋底和鍋壁均由耐高溫絕緣材料制成。起加熱作用的是安在鍋底的一系列半徑不同的同心導(dǎo)電環(huán)，如圖所示，（圖中沒有畫出所有的圓環(huán)）。導(dǎo)電環(huán)所用的材料單位長度的電阻R0=0.125（/m），從中心向外第n個(gè)同心圓環(huán)的半徑為rn=（2n-1）r1（n為正整數(shù)且n7），已知r1=1.0cm。當(dāng)電磁爐開啟后，能產(chǎn)生垂直于鍋底方向的變化磁場，已知該磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的變化率為=100sin（100t）（T/s），忽略同心導(dǎo)電圓環(huán)感應(yīng)電流之間的相互影響。若不計(jì)其他電磁輻射等損失，求：

（1）寫出r1環(huán)中感應(yīng)電動(dòng)勢e的瞬時(shí)表達(dá)式，并求其電功率P1；

（2）麥克斯韋認(rèn)為，磁場變化時(shí)會(huì)在空間激發(fā)出感生電場（也稱為渦旋電場），上述各環(huán)中的感應(yīng)電流就是電子在感生電場的作用下定向移動(dòng)形成的。設(shè)某段時(shí)間內(nèi)，磁場垂直紙面向里增強(qiáng)，試分析此過程中感生電場方向，并簡述判斷理由；

（3）所有導(dǎo)電圓環(huán)的總功率P是多大?（以上計(jì)算中取2=10）

Answer 1

【答案】（1）e=0.14sin（100t）（V），P1=0.4W；（2）感生電場是逆時(shí)針方向；（3）1900W

【解析】

（1）由法拉第電磁感應(yīng)定律可得

則第1環(huán)的電阻

感應(yīng)電動(dòng)勢有效值： ，

則功率：

（2）某段時(shí)間內(nèi)，磁場垂直紙面向里增強(qiáng)，根據(jù)楞次定律，感應(yīng)電流方向逆時(shí)針，所以電子是順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，電子受到的感生電場力沿順時(shí)針方向，感生電場是逆時(shí)針方向；

（3）則第n環(huán)中感應(yīng)電動(dòng)勢最大值Emax=100ππrn2
代入數(shù)據(jù)解得Emax=103rn2
第n環(huán)的電阻為Rn=0.125π2πrn=2.5rn
第n環(huán)的電流最大值為

半徑為rn環(huán)的功率Pn，則Pn=In2Rn=（）2×2.5rn=4002×2.5rn3=（2n-1）3P1
7個(gè)導(dǎo)電圓環(huán)釋放的總功率P，則：
P=P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7=1.9×103W