Question

如圖所示，導體棒ab的質量為m、電阻不計，放置在與水平面夾角為θ的傾斜金屬導軌上，導軌間距為d，電阻不計，整個裝置處在豎直向上的勻強磁場中，勻強磁場的磁感應強度為B，電源的電動勢為E，內阻不計．設導體棒與導軌的動摩擦因數為μ，且不通電時導體棒不能靜止于導軌上，要使導體棒靜止在導軌上，變阻器阻值范圍應為多大？（設：導體棒受到的滑動摩擦力與最大靜摩擦力相等）

Answer 1

分析：分析導體棒的受力情況：重力、導軌的支持力、靜摩擦力和安培力．當導體棒剛要沿導軌上滑時，導體棒所受的靜摩擦力沿斜面向下達到最大值，安培力達到最大，電路中電流最大，電阻R最小，根據平衡條件、安培力公式和閉合電路歐姆定律求解電阻R的最小值；
當導體剛要沿導軌下滑時，導體棒所受的靜摩擦力沿斜面向上達到最大值，安培力達到最小，電路中電流最小，電阻R最大，再根據平衡條件、安培力公式和閉合電路歐姆定律結合求解電阻R的最大值．即可得到R的范圍．

解答：解：當導體棒剛要沿導軌上滑時，導體棒所受的靜摩擦力沿斜面向下達到最大值，此時導體棒受力情況如圖：重力mg、導軌的支持力N、靜摩擦力f_m、安培力F，由平衡條件得：
Fcosθ=mgsinθ+f_m
N=Fsinθ+mgcosθ
又由題，f_m=μN，F=BI_maxL，I_max=

E

Rmin

聯立得，變阻器的最小阻值為：R_min=

EBL(cosθ-μsinθ)

mg(sinθ+μcosθ)

同理，當導體棒剛要沿導軌下滑時，導體棒所受的靜摩擦力沿斜面向上達到最大值，此時導體棒受力情況如圖：重力mg、導軌的支持力N、靜摩擦力f_m、安培力F，由平衡條件得：
mgsinθ=Fcosθ+f_m
N=Fsinθ+mgcosθ
又由題，f_m=μN，F=BI_minL，I_min=

E

Rmax

聯立解得，變阻器的最大阻值為：R_max=

EBL(cosθ+μsinθ)

mg(sinθ+μcosθ)

．
故要使導體棒靜止在導軌上，變阻器阻值范圍應為

EBL(cosθ-μsinθ)

mg(sinθ+μcosθ)

≤R≤

EBL(cosθ+μsinθ)

mg(sinθ+μcosθ)

．
答：要使導體棒靜止在導軌上，變阻器阻值范圍應為

EBL(cosθ-μsinθ)

mg(sinθ+μcosθ)

≤R≤

EBL(cosθ+μsinθ)

mg(sinθ+μcosθ)

．

點評：本題是通電導體在磁場中平衡問題，分析受力時，要抓�。寒攲�體棒剛要滑動時靜摩擦力達到最大值這個臨界條件．