Question

2．如圖，水平地面上有一個坑，其豎直截面為$\frac{1}{4}$圓，a點為圓心，圓半徑為R，ab沿水平方向的半徑，若在a點以某一初速度沿ab方向拋出一小球，小球會擊中坑壁上的c點，已知c點與水平地面的距離為圓半徑的一半，求：
（1）小球的初速度；
（2）小球落在c點的速度方向與水平面間的夾角的正切值；
（3）小球的初速度不同時，小球會擊中坑內(nèi)的不同位置，擊中坑時動能也不同，求小球的初速度多大時，小球擊中坑時有最小的動能，最小的動能多大？

Answer 1

分析 （1）小球做平拋運動，在水平方向上做勻速直線運動，豎直方向上做自由落體運動，根據(jù)分位移的公式，結(jié)合幾何關(guān)系求出小球的初速度．
（2）根據(jù)速度的分解法，由數(shù)學(xué)知識求出小球落在c點的速度方向與水平面間的夾角的正切值．
（3）根據(jù)機械能守恒定律、幾何知識、平拋運動的規(guī)律結(jié)合得到小球擊中坑時動能與下落高度的關(guān)系式，由數(shù)學(xué)知識求解最小的動能．

解答 解：（1）小球做平拋運動，在水平方向上做勻速直線運動，豎直方向上做自由落體運動，由幾何關(guān)系可知，ac連線與水平方向的夾角為30°，由平拋運動的規(guī)律有：
v₀t=Rcos30° 
$\frac{R}{2}$=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
聯(lián)立解得：t=$\sqrt{\frac{R}{g}}$，v₀=$\frac{\sqrt{3gR}}{2}$
（2）設(shè)小球落在c點的速度方向與水平面間的夾角為α，則有：
tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{gt}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{gR}}{\frac{\sqrt{3gR}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
（3）設(shè)小球落在c點時水平位移大小為x，下落的高度為y．
由數(shù)學(xué)知識有：x²+y²=R²；
由機械能守恒有：$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=mgy+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
又 y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x=v₀t
聯(lián)立可得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{3}{4}$mgy+$\frac{mg{R}^{2}}{4y}$≥2$\sqrt{\frac{3}{4}mgy•\frac{mg{R}^{2}}{4y}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$mgR
所以小球擊中坑時有最小動能的條件是：$\frac{3}{4}$mgy=$\frac{mg{R}^{2}}{4y}$
即：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R
由上解得動能最小時的初速度為：v₀=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gR}{3}}$ 
答：（1）小球的初速度是$\frac{\sqrt{3gR}}{2}$；
（2）小球落在c點的速度方向與水平面間的夾角的正切值是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（3）小球的初速度為$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gR}{3}}$時，小球擊中坑時有最小的動能，最小的動能為$\frac{\sqrt{3}}{2}$mgR．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律，結(jié)合運動學(xué)公式和幾何知識靈活求解．