Question

6．如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一條$\frac{1}{4}$圓弧形軌道AB，其半徑R=1m，B點(diǎn)的切線方向恰好為水平方向．一個(gè)質(zhì)量為m=2kg的小物體，從軌道頂端A點(diǎn)由靜止開始沿軌道下滑，到達(dá)軌道末端B點(diǎn)時(shí)的速度為v_B=4m/s，然后做平拋運(yùn)動(dòng)，落到地面上的C點(diǎn)．若軌道距地面的高度h為5m，如圖所示（不計(jì)空氣阻力，g=10m/s²），求：
（1）小球在B點(diǎn)對(duì)軌道的壓力；
（2）小球落地時(shí)的速度；
（3）B、C兩點(diǎn)間的水平距離．

Answer 1

分析 （1）在B點(diǎn)，小球靠重力和支持力的合力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出小球?qū)�B點(diǎn)的壓力大�。�
（2）根據(jù)高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，結(jié)合速度時(shí)間公式求出落地時(shí)的豎直分速度，根據(jù)平行四邊形定則求出落地的速度．
（3）根據(jù)B點(diǎn)的速度和平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間求出B、C兩點(diǎn)間的水平距離．

解答 解：（1）在B點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得：
$N-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
解得：N=$mg+m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$=$20+2×\frac{16}{1}$N=52N．
根據(jù)牛頓第三定律知，小球在B點(diǎn)對(duì)軌道的壓力為52N．
（2）根據(jù)h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×5}{10}}s=1s$，
小球落地時(shí)的豎直分速度為：v_y=gt=10×1m/s=10m/s，
根據(jù)平行四邊形定則知，落地的速度為：$v=\sqrt{{{v}_{B}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{16+100}m/s=2\sqrt{29}$m/s．
（3）B、C兩點(diǎn)間的水平距離為：x=v_Bt=4×1m=4m．
答：（1）小球在B點(diǎn)對(duì)軌道的壓力為52N；
（2）小球落地時(shí)的速度為$2\sqrt{29}$m/s；
（3）B、C兩點(diǎn)間的水平距離為4m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵．