Question

1．鈾238的半衰期是4.5×10⁹年，假如一塊礦石中含有1kg鈾238，經(jīng)45億年后還剩多少鈾238？假設(shè)發(fā)生衰變的鈾238都變成了鉛206，礦石中含有多少鉛？這時(shí)鈾鉛比例是多少？寫(xiě)出礦石中鈾、鉛比例隨時(shí)間變化的一般關(guān)系式，并說(shuō)明能否根據(jù)這種鈾鉛比例判斷出礦石的年齡．

Answer 1

分析 根據(jù)總質(zhì)量（m₀）、衰變質(zhì)量（m）、衰變時(shí)間（t），半衰期（T）之間關(guān)系式，代入數(shù)據(jù)可正確解答還剩多少鈾；
減小的²³⁸U，并非全部變?yōu)?SUP>206Pb，還有其它粒子產(chǎn)生，根據(jù)²³⁸U和²⁰⁶Pb質(zhì)量數(shù)之間的關(guān)系可正確解答．
根據(jù)前兩問(wèn)計(jì)算結(jié)果可直接回答．

解答 解：設(shè)總質(zhì)量（m₀）、剩余質(zhì)量（m）、衰變時(shí)間（t），半衰期（T）之間關(guān)系為：
$m={m}_{0}（\frac{1}{2}）^{（\frac{t}{T}）}$…①
將m₀=1kg，T₀=45億年，t=45億年，代人解得：
$m=\frac{{m}_{0}}{2}=0.5kg$
故還剩余0.5 kg²³⁸U．
在衰變的過(guò)程中礦石生成的鉛的原子核的個(gè)數(shù)與已經(jīng)衰變的鈾的原子核的個(gè)數(shù)相等，所以已經(jīng)衰變的0.5kg鈾轉(zhuǎn)化為鉛：
$m′=（{m}_{0}-m）×（\frac{206}{238}）=0.5×\frac{206}{238}=0.433kg$
這時(shí)鈾鉛比例是：$\frac{m}{m′}=\frac{0.5}{0.433}$
礦石中鈾、鉛比例隨時(shí)間變化的一般關(guān)系式：
$\frac{m}{m′}=\frac{m}{（{m}_{0}-m）×\frac{206}{238}}$  ②
聯(lián)立①②得：$\frac{m}{m′}$=$\frac{119×（\frac{1}{2}）^{\frac{t}{T}}}{103×[1-（\frac{1}{2}）^{\frac{t}{T}}]}$③
由③可知，在測(cè)量出礦石中鈾、鉛比例后，即可求出礦石的年齡．
答：經(jīng)45億年后還剩0.5kg鈾238，假設(shè)發(fā)生衰變的鈾238都變成了鉛206，礦石中含有0.433kg鉛；這時(shí)鈾鉛比例是$\frac{1}{0.433}$；礦石中鈾、鉛比例隨時(shí)間變化的一般關(guān)系式為：$\frac{m}{m′}$=$\frac{119×（\frac{1}{2}）^{\frac{t}{T}}}{103×[1-（\frac{1}{2}）^{\frac{t}{T}}]}$，能根據(jù)這種鈾鉛比例判斷出礦石的年齡．

點(diǎn)評(píng) 解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)半衰期的運(yùn)算，弄清總質(zhì)量、衰變質(zhì)量、衰變時(shí)間，半衰期之間關(guān)系．