Question

6．如圖所示，在x軸上方有垂直于xy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；在x軸下方有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)為E．一質(zhì)量為m，電量為-q的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿著y軸正方向射出．射出以后，它第三次到達(dá)x軸時(shí)，與點(diǎn)O的距離為L(zhǎng)．不計(jì)粒子重力，求：
（1）粒子射出時(shí)的速度v
（2）粒子從射出以后第三次到達(dá)x軸所用的總時(shí)間
（3）若粒子從射出以后到第n次向下穿過(guò)x軸所用的總時(shí)間為t_n，寫(xiě)出t_n的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，受洛倫茲力提供向心力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)中受到電場(chǎng)力，做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，即勻減速運(yùn)動(dòng)到零再返回．作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合軌道半徑求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度．
（2）由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的周期求解磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即可 得到總時(shí)間．
（3）根據(jù)歸納法，尋找規(guī)律，得到時(shí)間的表達(dá)式．

解答 解：（1）粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，靠洛倫茲力提供向心力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（半周）．

粒子在電場(chǎng)中，受電場(chǎng)力，做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，勻減速到零后勻加速返回．
運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，因?yàn)榈谌�次到達(dá)x軸時(shí)，它與點(diǎn)O的距離為a，則有：L=4R
設(shè)粒子初速度為v，洛倫茲力提供向心力，有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得：v=$\frac{BqL}{4m}$
（2）粒子在電場(chǎng)作勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度為a=$\frac{qE}{m}$
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t₁=$\frac{2v}{a}$=$\frac{BL}{2E}$
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間是一個(gè)周期，為 t₂=T=$\frac{2πm}{Bq}$
故t=$\frac{2πm}{Bq}$+$\frac{BL}{2E}$
（3）粒子從射出以后到第n次向下穿過(guò)x軸時(shí)，磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 n$•\frac{T}{2}$
電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 （n-1）t₁；
故總時(shí)間為 t_n=n$•\frac{T}{2}$+（n-1）t₁=$\frac{nπm}{Bq}$+$\frac{（n-1）BL}{2E}$，n=1，2，3，…
解：
（1）粒子射出時(shí)的速度v為$\frac{BqL}{4m}$．
（2）粒子從射出以后第三次到達(dá)x軸所用的總時(shí)間為$\frac{2πm}{Bq}$+$\frac{BL}{2E}$．
（3）t_n的表達(dá)式為 t_n=$\frac{nπm}{Bq}$+$\frac{（n-1）BL}{2E}$n=1，2，3，…

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解，注意第三次到達(dá)x軸時(shí)，在磁場(chǎng)中形成兩個(gè)半圓，容易誤認(rèn)為形成三個(gè)半圓．