Question

（2013?濟(jì)南一模）利用彈簧彈射和皮帶傳動(dòng)裝置可以將工件運(yùn)送至高處．如圖所示，已知傳送軌道平面與水平方向成37°角，傾角也是37°的光滑斜面軌道固定于地面且與傳送軌道良好對(duì)接，彈簧下端固定在斜面底端，工件與皮帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.25．皮帶傳動(dòng)裝置順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的速度v=4m/s，兩輪軸心相距L=5m，B、C分別是傳送帶與兩輪的切點(diǎn)，輪緣與傳送帶之間不打滑．現(xiàn)將質(zhì)量m=lkg的工件放在彈簧上，用力將彈簧壓縮至A點(diǎn)后由靜止釋放，工件離開(kāi)斜面頂端滑到皮帶上的B點(diǎn)時(shí)速度v₀=8m/s，AB間的距離s=lm．工件可視為質(zhì)點(diǎn)，g取l0m/s²．  （sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）彈簧的最大彈性勢(shì)能
（2）工件沿傳送帶上滑的時(shí)間
（3）若傳送裝置順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的速度v可在v＞4m/s的范圍內(nèi)調(diào)節(jié)，試推導(dǎo)工件滑動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)的速度v_c隨速度v變化的關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)工件離開(kāi)斜面頂端滑到皮帶上的B點(diǎn)時(shí)速度v₀=8m/s，AB間的距離s=lm，通過(guò)能量守恒定律求出彈簧的最大彈性勢(shì)能．
（2）因?yàn)棣蹋紅an37°，當(dāng)工件速度減為傳送帶速度時(shí)，又以不同的加速度向上減速，根據(jù)牛頓第二定律求出兩次勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的加速度，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出上滑的總時(shí)間．
（3）當(dāng)傳送帶速度在4m/s＜v＜8m/s的范圍內(nèi)調(diào)節(jié)時(shí)，工件先以加速度a₁減速向上滑行，再以加速度a₂減速向上滑行，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出工件滑動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)的速度v_c隨速度v變化的關(guān)系式．
當(dāng)傳送帶的速度v≥8m/s的范圍內(nèi)調(diào)節(jié)時(shí)，工件將沿傳送帶以加速度a₂減速滑行到C點(diǎn)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出工件滑動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)的速度v_c隨速度v變化的關(guān)系式．

解答：解：（1）彈簧的最大彈性勢(shì)能為Ep=mgssin37°+

1

2

mv02
解得E_P=38J．
（2）工件沿傳送軌道減速向上滑動(dòng)的過(guò)程中有：mgsin37°+μmgcos37°=ma₁
與傳送帶共速需要的時(shí)間t1=

v0-v

a1

=0.5s．
工件滑行的位移大小s1=

v02-v2

2a1

=3m＜L．
因?yàn)棣蹋紅an37°，所以工件將沿傳送帶繼續(xù)減速上滑．
mgsin37°-μmgcos37°=ma₂
假設(shè)工件速度減為零時(shí)，工件未從傳送帶上滑落，則t2=

v

a2

=1s．
工件滑行的位移大小s2=

v2

2a2

=2m=L-s1
故假設(shè)成立，工件沿傳送帶上滑的時(shí)間t=t₁+t₂=1.5s．
（3）當(dāng)傳送帶速度在4m/s＜v＜8m/s的范圍內(nèi)調(diào)節(jié)時(shí)，工件先以加速度a₁減速向上滑行s1′=

v02-v2

2a1

．
當(dāng)速度減到v后又以加速度a₂減速向上滑行L-s1′=

v2-vC2

2a2

工件滑動(dòng)C點(diǎn)的速度v_C隨速度v的變化關(guān)系式vc=

v2 2 -8

當(dāng)傳送帶的速度v≥8m/s的范圍內(nèi)調(diào)節(jié)時(shí)，工件將沿傳送帶以加速度a₂減速滑行到C點(diǎn)
vc2-v02=2a2L
工件滑動(dòng)到C點(diǎn)的速度v_c隨速度v變化的關(guān)系式vc=2

6

m/s．
答：（1）彈簧的最大彈性勢(shì)能為38J．
（2）工件沿傳送帶上滑的時(shí)間為1.5s．
（3）當(dāng)傳送帶速度在4m/s＜v＜8m/s時(shí)，工件滑動(dòng)C點(diǎn)的速度v_C隨速度v的變化關(guān)系式vc=

v2 2 -8

，當(dāng)傳送帶的速度v≥8m/s時(shí)，工件滑動(dòng)到C點(diǎn)的速度v_c隨速度v變化的關(guān)系式vc=2

6

m/s．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵理清工件的運(yùn)動(dòng)情況，通過(guò)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．