Question

如圖所示，電源電動(dòng)勢(shì)為ε，內(nèi)阻為r，滑動(dòng)變阻器總阻值為3r，間距為d的兩平行金屬板AB、CD豎直放置，閉合電鍵S時(shí)，板間電場(chǎng)可視為勻強(qiáng)電場(chǎng)．板間有一長(zhǎng)為L(zhǎng)的絕緣細(xì)輕桿，能繞水平固定轉(zhuǎn)軸O在豎直面內(nèi)無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，桿上端固定質(zhì)量為m、帶電量為+q的金屬小球a，下端固定質(zhì)量為2m、帶電量為-q的金屬小球b，已知Ob=2Oa，并且q=

2mgd

ε

，兩帶電小球可視為點(diǎn)電荷，不影響勻強(qiáng)電場(chǎng)的分布，兩電荷間相互作用力不計(jì)，重力加速度為g．現(xiàn)調(diào)節(jié)滑片P使其位于滑動(dòng)變阻器的中點(diǎn)，閉合電鍵S，待電場(chǎng)穩(wěn)定后：
（1）求兩極板間電場(chǎng)強(qiáng)度E的表達(dá)式；
（2）將輕桿從如圖位置順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)θ時(shí)（θ＜360°）由靜止釋放，輕桿恰能靜止，求θ；
（3）若將輕桿從如圖位置由靜止釋放，輕桿將繞軸O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，求小球a運(yùn)動(dòng)的最大速度．

Answer 1

（1）由題意可知，當(dāng)滑動(dòng)變阻器滑片位于變阻器中點(diǎn)時(shí)，閉合電鍵S，平行金屬板間的電壓
U=

?

R+r

×

R

2

代入數(shù)據(jù)有：
U=

?

3r+r

×

3r

2

=

3?

8

又因?yàn)槠叫薪饘侔彘g是勻強(qiáng)電場(chǎng)，根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)差的關(guān)系有：
E=

U

d

=

3?

8d

（2）輕桿恰能靜止時(shí)所受力矩平衡，
兩小球所受重力的力矩為反方向，且M_重a＜M_重b
兩小球所受電場(chǎng)力的力矩為同方向，
因此力矩平衡時(shí)則有：M_重a+M_電a+M_電b=M_重b
mgsinθ×

1

3

L+Eqcosθ×

1

3

L+Eqcosθ×

2

3

L=2mgsinθ×

2

3

L
又因?yàn)镋q=

3

4

mg
可解得θ=37°或217°
（3）由（2）分析知小球P運(yùn)動(dòng)的速度最大時(shí)輕桿與豎直方向夾角為37°，因?yàn)橥瑮U轉(zhuǎn)動(dòng)，所以有：
v_b=2v_a
由動(dòng)能定理得：

1

2

mv_a ²+

1

2

2mv_b ²-0=mg

1

3

L （1-cos37°）+Eq

1

3

Lsin37°+Eq

2

3

Lsin37°-2mg

2

3

L （1-cos37°） 
可解出v_a=

2gL

6

答：（1）求兩極板間電場(chǎng)強(qiáng)度E的表達(dá)式為

3?

8d

；
（2）將輕桿從如圖位置順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)θ時(shí)（θ＜360°）由靜止釋放，輕桿恰能靜止，θ=37°或217°；
（3）若將輕桿從如圖位置由靜止釋放，輕桿將繞軸O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，求小球a運(yùn)動(dòng)的最大速度

2gL

6