Question

18．濕地公園的湖面上有一伸向水面的混凝土觀景臺(tái)，截面圖如圖所示，觀景臺(tái)下表面恰好和水面相平，A為觀景臺(tái)右側(cè)面在湖底的投影，水深h=8m．在距觀景臺(tái)右側(cè)面x=8m處有一可沿豎直方向移動(dòng)的單色點(diǎn)光源S，現(xiàn)該光源從距水面高6m處向下移動(dòng)到接近水面的過程中，觀景臺(tái)水下被照亮的最遠(yuǎn)距離為AC，最近距離為AB，若AB=6m，求：
①水的折射率n；
②光能照亮的最遠(yuǎn)距離AC（計(jì)算結(jié)果可以保留根號(hào)）．

Answer 1

分析 ①據(jù)題，觀景臺(tái)水下被照亮的最近距離為AB，光線在水面發(fā)生了折射，由數(shù)學(xué)知識(shí)求入射角與折射角的正弦值，即可求得折射率．
②點(diǎn)光源S接近水面時(shí)，入射角為90°，光能照亮的距離最遠(yuǎn)，由折射定律求出折射角，即可由幾何知識(shí)求解最遠(yuǎn)距離AC

解答 解：①點(diǎn)光源S在距水面高6m處發(fā)出的光在觀景臺(tái)右側(cè)面與水面交接處折射到水里時(shí)，被照亮的距離為最近距離AB，則：
由于n=$\frac{sini}{sinr}$
所以，水的折射率 n=$\frac{\frac{x}{\sqrt{{3}^{2}+{x}^{2}}}}{\frac{AB}{\sqrt{A{B}^{2}+{h}^{2}}}}$=$\frac{4}{3}$
②點(diǎn)光源S接近水面時(shí)，光在觀景臺(tái)右側(cè)面與水面交接處掠射到水里時(shí)，被照亮的距離為最遠(yuǎn)距離AC，此時(shí)，入射角為90°，折射角為臨界角C
則：n=$\frac{1}{sinC}$=$\frac{\sqrt{A{C}^{2}+{h}^{2}}}{AC}$=$\frac{4}{3}$
可得 sinC=$\frac{3}{4}$
由數(shù)學(xué)知識(shí)得 tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{sinC}{\sqrt{1-si{n}^{2}C}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$
解得：AC=htanC=$\frac{24\sqrt{7}}{7}$m≈9m
答：（�。┧�的折射率n為$\frac{4}{3}$；
（ⅱ）光能照亮的最遠(yuǎn)距離AC為9m．

點(diǎn)評(píng) 本題以折射率和全反射為命題背景考查學(xué)生的推理能力和分析綜合能力，關(guān)鍵能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解入射角和折射角的正弦值，要知道入射角最大時(shí)折射角也最大．