Question

3．在水平光滑的絕緣桌面內(nèi)建立如圖所示的直角坐標系，將第Ⅰ、第Ⅱ象限合稱為區(qū)域一，第Ⅲ、Ⅳ象限合稱為區(qū)域二，其中一個區(qū)域內(nèi)有大小、方向均未標明的勻強電場，另一個區(qū)域內(nèi)有大小為2×10^-2T、方向垂直于水平桌面的勻強磁場．把一個比荷為$\frac{q}{m}$=2×10⁸C/kg的正電荷從坐標為（0，-1）的A點處由靜止釋放，電荷沿直線AC運動并從坐標為（1，0）的C點第一次經(jīng)x軸進入?yún)^(qū)域一，經(jīng)過一段時間，從坐標原點0再次回到區(qū)域二（重力不計）．
（1）指出哪個區(qū)域是電場、哪個區(qū)域是磁場以及電場和磁場的方向；
（2）求電荷在磁場里作勻速圓周運動的軌道半徑r和勻強電場強度E的大��；
（3）求從釋放到第二次經(jīng)過x軸電荷運動的時間t．

Answer 1

分析 （1）由A靜止釋放到C的運動可知區(qū)域二是電場，區(qū)域一為磁場；由運動方向可判斷電場和磁場的方向．
（2）電荷在區(qū)域二中做勻加速直線運動，進入?yún)^(qū)域一后做勻速圓周運動，應用運動學公式和圓周運動的半徑公式即可求出電場強度的大小．
（3）電荷從坐標原點O第二次經(jīng)過x軸進入?yún)^(qū)域Ⅱ，速度方向與電場方向垂直，電荷在電場中做類平拋運動，在電場方向上做初速度為零的勻加速直線運動，在垂直于電場的方向上做勻速直線運動，應用平拋運動的知識可求解．

解答 解：（1）由對電荷的運動描述可知區(qū)域一是磁場，方向垂直紙面向里．區(qū)域二是電場，方向由A指向C．
（2）設(shè)電場強度的大小為E，電荷從C點進入?yún)^(qū)域Ⅰ的速度為v．從A到C電荷做初速度為零的勻加速直線運動，且過C點時速度方向與x軸正方向成45°角，則有：v²=2as=2$\frac{qE}{m}$s
電荷進入?yún)^(qū)域Ⅰ后，在洛侖茲力的作用下做勻速圓周運動，運動軌跡如圖，有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
由題意及幾何關(guān)系有：
$\frac{q}{m}$=2×10⁸，B=2×10^-2T，s=$\sqrt{2}$m  r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m
由以上各式可得：E=$\sqrt{2}$×10⁴V/m
（3）電荷從坐標原點O第二次經(jīng)過x軸進入?yún)^(qū)域Ⅱ，速度方向與電場方向垂直，電荷在電場中做類平拋運動，設(shè)經(jīng)過時間t電荷第三次經(jīng)過x軸．有：
tan45°=$\frac{\frac{1}{2}a{t}^{2}}{vt}$
解得：t=2.18×10^-6s
答：（1）區(qū)域一是磁場，方向垂直紙面向里．區(qū)域二是電場，方向由A指向C．
（2）電場強度的大小為$\sqrt{2}$×10⁴V/m；
（3）從釋放到第二次經(jīng)過x軸電荷運動的時間t為2.18×10^-6s．

點評 粒子進入有邊界的磁場，由于邊界條件的不同，而出現(xiàn)涉及臨界狀態(tài)的臨界問題，可以根據(jù)邊界條件確定粒子的軌跡、半徑、在磁場中的運動時間等．解決此類問題常用的方法：畫圖→動態(tài)分析→找軌跡．（這類題目關(guān)鍵是作圖，圖畫準了，問題就解決了一大半，余下的就只有計算了──這一般都不難．）