Question

圖示為倉庫中常用的皮帶傳輸裝置示意圖，它由兩臺(tái)皮帶傳送機(jī)組成，一臺(tái)水平傳送，A、B 兩端相距3m，另一臺(tái)傾斜，傳送帶與地面的傾角θ=37°，C、D 兩端相距4.45m，B、C相距很近．水平部分AB 以5m/s的速率順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)．將質(zhì)量為10kg 的一袋大米放在A 端，到達(dá)B 端后，速度大小不變地傳到傾斜的CD 部分，米袋與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為0.5．（g取10m/s²）試求：
（1）若CD 部分傳送帶不運(yùn)轉(zhuǎn)，求米袋沿傳送帶所能上升的最大距離．
（2）若要米袋能被送到D 端，求CD 部分順時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn)的速度應(yīng)滿足的條件及米袋從C 端到D 端所用時(shí)間的取值范圍．

Answer 1

（1）米袋在AB上加速時(shí)的加速度a₀=

μmg

m

=μg=5m/s²
米袋的速度達(dá)到v₀=5m/s時(shí)，
滑行的距離s₀=

v02

2a0

=2.5m＜AB=3m，
因此米袋在到達(dá)B點(diǎn)之前就有了與傳送帶相同的速度              
設(shè)米袋在CD上運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a，由牛頓第二定律得mgsinθ+μmgcosθ=ma
代入數(shù)據(jù)得  a=10 m/s²
所以能滑上的最大距離 s=

v02

2a

=1.25m
（2）設(shè)CD部分運(yùn)轉(zhuǎn)速度為v₁時(shí)米袋恰能到達(dá)D點(diǎn)（即米袋到達(dá)D點(diǎn)時(shí)速度恰好為零），則米
袋速度減為v₁之前的加速度為a₁=-g（sinθ+μcosθ）=-10 m/s²
米袋速度小于v₁至減為零前的加速度為a₂=-g（sinθ-μcosθ）=-2 m/s²
由

v12-v02

2a1

+

0-v12

2a2

=4.45m
解得 v₁=4m/s，即要把米袋送到D點(diǎn)，CD部分的速度v_CD≥v₁=4m/s
米袋恰能運(yùn)到D點(diǎn)所用時(shí)間最長為t_max=

v1 -v0

a1

+

0-v1

a2

=2.1s
若CD部分傳送帶的速度較大，使米袋沿CD上滑時(shí)所受摩擦力一直沿皮帶向上，
則所用時(shí)間最短，此種情況米袋加速度一直為a₂．
由S_CD=v₀t_min+

1

2

a₂t²_min，得：t_min=1.16s
所以，所求的時(shí)間t的范圍為  1.16 s≤t≤2.1 s；
答：（1）若CD 部分傳送帶不運(yùn)轉(zhuǎn)，米袋沿傳送帶所能上升的最大距離為1.25m．
（2）若要米袋能被送到D 端，CD 部分順時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn)的速度應(yīng)滿足大于等于4m/s，米袋從C 端到D 端所用時(shí)間的取值范圍為1.16 s≤t≤2.1 s．