Question

17．18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家莫佩爾蒂，哲學(xué)家伏爾泰曾經(jīng)設(shè)想“穿透”地球；假設(shè)能夠沿著地球兩極連線開鑿一條沿著地軸的隧道貫穿地球，一個(gè)人可以從北極入口由靜止自由落入隧道中，忽略一切阻力，此人可以從南極出口飛出，（已知此人的質(zhì)量m=50kg；地球表面處重力加速度取g=10m/s²；地球半徑R=6.4×10⁶m；假設(shè)地球可視為質(zhì)量分布均勻的球體．均勻球殼對(duì)殼內(nèi)任一點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)合引力為零）則以下說法正確的是（　�。�

• A． 人與地球構(gòu)成的系統(tǒng)，由于重力發(fā)生變化，故機(jī)械能不守恒
• B． 人在下落過程中，受到的萬有引力與到地心的距離成正比
• C． 人從北極開始下落，到剛好經(jīng)過地心的過程，萬有引力對(duì)人做功W=3.2×10⁹J
• D． 當(dāng)人下落經(jīng)過距地心$\frac{1}{2}$R瞬間，人的瞬時(shí)速度大小為4$\sqrt{3}$×10³m/s

Answer 1

分析 A、機(jī)械能守恒的條件是只有重力或彈簧彈力做功；
B、根據(jù)萬有引力定律推導(dǎo)出萬有引力的表達(dá)式進(jìn)行分析；
C、人從北極開始下落，直到經(jīng)過地心的過程中，重力與距離球心的距離成正比，取平均力，為地面時(shí)重力的一半，即$\overline{F}=\frac{F}{2}=\frac{1}{2}mg$；然后根據(jù)功的定義列式求解即可；
D、對(duì)人從下落到距地心$\frac{R}{2}$過程，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解即可．

解答 解：A、人與地球構(gòu)成的系統(tǒng)，由于只有重力做功，故系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故A錯(cuò)誤；
B、與球心的距離為r時(shí)，萬有引力為：F=G$\frac{M′m}{{r}^{2}}$=$G\frac{ρ×\frac{4}{3}π{r}^{3}•m}{{r}^{2}}$=$\frac{4Gπρm}{3}r$∝r；故B正確；
C、人從北極開始下落，直到經(jīng)過地心的過程中，萬有引力對(duì)人做功：
W=$\overline{F}•R$
其中：
$\overline{F}=\frac{F}{2}=\frac{1}{2}mg$
聯(lián)立解得：
W=$\frac{1}{2}mgR$=$\frac{1}{2}$×50×10×6.4×10⁶=1.6×10⁹J
故C錯(cuò)誤；
D、人從下落到距地心$\frac{R}{2}$過程，萬有引力的平均值為：
$\overline{F}$=$\frac{mg+\frac{1}{2}mg}{2}=\frac{3}{4}mg=\frac{3}{4}×50×10N=375J$
根據(jù)動(dòng)能定理，有：
$\overline{F}•\frac{R}{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：
v=$\sqrt{\frac{\overline{F}•R}{m}}$=$\sqrt{\frac{375×6.4×1{0}^{6}}{50}}$=4$\sqrt{3}$×10³m/s
故D正確；
故選：BD

點(diǎn)評(píng) 近幾年高考對(duì)萬有引力的考查均有創(chuàng)新點(diǎn)，并且對(duì)學(xué)生的能力要求較高．本題考查學(xué)生對(duì)機(jī)械能守恒定律適用條件的理解、對(duì)題目信息的充分挖掘、對(duì)變力做功的計(jì)算．不難．