Question

（20分）給定三個(gè)圓柱，它們的長(zhǎng)度、外徑和質(zhì)量均相同。第一個(gè)是實(shí)心圓柱；第二個(gè)是空心圓筒，壁有一定厚度；第三個(gè)是同樣壁厚的圓筒，但兩端用薄片封閉，里面充滿一種密度與筒壁相同的液體。如將它們放在傾角α為的斜面上，如圖所示，求出并比較這些圓柱的線加速度。研究光滑滾動(dòng)與又滾又滑兩種情況。圓柱與斜面的摩擦系數(shù)為μ，液體與筒壁之間的摩擦可以忽略。

Answer 1

解析：沿斜面方向作用在圓柱上的力是：作用于質(zhì)心重力的分量mg sinα和作用于接觸點(diǎn)的摩擦力S，如題所給的圖所示。產(chǎn)生的加速度a ：

ma＝mg sinα－S

純滾動(dòng)時(shí)的角加速度為：

轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為：

以上方程組的解為：

　　　　　　　　　　　�。ǎ保�

當(dāng)S達(dá)到最大可能值μmg cosα時(shí)，也就到了純滾動(dòng)的極限情形，這時(shí)：

即維持純滾動(dòng)的極限條件為

　　　　　　　　　　　　（２）

下面我們來(lái)研究三個(gè)圓柱體的純滾動(dòng)情形。

（Ⅰ）實(shí)心圓柱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

從（１）式和（２）式分別得到

，　　tan a_h＝３μ

角加速度為：β＝

（Ⅱ）設(shè)空心圓筒壁的密度是實(shí)心圓柱密度的n倍。因已知圓柱的質(zhì)量是相等的，故可以算出圓筒空腔的半徑r：

即

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

由（１）式和（２）式分別算出：

，　　　

角加速度為：β＝

（Ⅲ）對(duì)充滿液體的圓筒，因液體與筒壁之間無(wú)摩擦力，故液體不轉(zhuǎn)動(dòng)�？傎|(zhì)量為m，但轉(zhuǎn)動(dòng)慣量只需對(duì)圓筒壁計(jì)算：

由（１）式和（２）式分別算出：

，　　

角加速度為：β＝

現(xiàn)在比較三個(gè)圓柱體的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：線加速度和角加速度之比為：

1∶∶

極限角正切之比為：

1∶∶

如果斜面傾角超過(guò)極限角，則圓柱又滑又滾。此時(shí)三個(gè)圓柱體的摩擦力均為μmg cosα，故線加速度相同，為：

a＝g（sinα－cosα）

角加速度由給出，但轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在三種情況下各不相同。因此，若圓柱體又滾又滑，則三種情況下的角加速度分別為：