Question

如圖甲所示的坐標(biāo)系中，第四限象內(nèi)存在垂直于紙面向里的有界勻強磁場，x方向的寬度OA=20

3

cm，y方向無限制，磁感應(yīng)強度B₀=1×10^-4T．現(xiàn)有一比荷為

q

m

=2×10¹¹C/kg的正離子以某一速度從O點射入磁場，α=60°，離子通過磁場后剛好從A點射出．

（1）求離子進入磁場B₀的速度的大��；
（2）離子進入磁場B₀后，某時刻再加一個同方向的勻強磁場，使離子做完整的圓周運動，求所加磁場磁感應(yīng)強度的最小值；
（3）離子進入磁場B₀后，再加一個如圖乙所示的變化磁場（正方向與B₀方向相同，不考慮磁場變化所產(chǎn)生的電場），求離子從O點到A點的總時間．

Answer 1

分析：（1）離子在磁場中做勻速圓周運動，軌道半徑可由幾何關(guān)系求得，洛侖茲力提供向心力，根據(jù)向心力公式即可求得速度；
（2）由Bqv=

mv2

r

知，B越小，r越大．設(shè)離子在磁場中最大半徑為R，幾何關(guān)系求得半徑，再根據(jù)向心力公式即可求得B，進而求出外加磁場最小值；
（3）先算出離子在磁場中運動第一次遇到外加磁場的過程中軌跡對應(yīng)的圓心角，由幾何關(guān)系求出此時施加附加磁場時離子在磁場中能做的圓周運動的最大半徑，根據(jù)向心力公式求出離子在有附加磁場時運動半徑，判斷粒子是否能做完整的圓周運動，對照外加磁場的規(guī)律求出粒子做圓周運動的次數(shù)，最后求得總時間．

解答：解：（1）如圖所示，由幾何關(guān)系得離子在磁場中運動時的軌道半徑r₁=0.2m
離子在磁場中做勻速圓周運動，洛侖茲力提供向心力
Bqv=

mv2

r1

求得：v=4×10⁶m/s
（2）由Bqv=

mv2

r

知，B越小，r越大．設(shè)離子在磁場中最大半徑為R
由幾何關(guān)系得：R=0.05m
由牛頓運動定律得B1qv=

mv2

r

求得B₁=4×10^-4T
則外加磁場△B1=3×10-4T
（3）離子在原磁場中運動周期
T1=

2πm

Bq

=π×10-7s
離子在磁場中運動第一次遇到外加磁場的過程中軌跡對應(yīng)的圓心角
θ1=

π 12 ×10-7

π×10-7

×2π=

π

6

此時施加附加磁場時離子在磁場中能做的圓周運動的最大半徑為r₂
由幾何關(guān)系知：r2=(

1

3

-

3

9

)×0.2≈0.028m
離子在有附加磁場時運動半徑為r₃
則B2qv=

mv2

r3

，求得r3=

1

60

≈0.017m
因r₃＜r₂，所以離子能做完整的圓周運動
離子在外加磁場后時，T2=

2πm

B2q

=

π

12

×10-7s
對照外加磁場的規(guī)律可知，每隔

π

12

×10-7s離子在周期性外加磁場時，離子恰可做一次完整的勻速圓周運動，共做三次，最后在A點離開磁場．
離子從O點進入到A點射出的總時間為
t=

2π 3 m

Bq

+

6πm

B2q

=

π

2

×10-7s
答：（1）離子進入磁場B₀的速度的大小為4×10⁶m/s；
（2）所加磁場磁感應(yīng)強度的最小值為3×10^-4T；
（3）離子從O點到A點的總時間為

π

2

×10-7s．

點評：該題主要考查了帶電粒子在磁場中的運動．要求同學(xué)們能正確畫出粒子運動的軌跡，并根據(jù)幾何關(guān)系求得軌道半徑，能用向心力公式和周期公式解題，難度較大，屬于難題．