Question

如圖所示，豎直平面內有一半徑為r、內阻為R₁、粗細均勻的光滑半圓形金屬環(huán)，在M、N處與相距為2r、電阻不計的平行光滑金屬軌道ME、NF相接，EF之間接有電阻R₂，已知R₁=12R，R₂=4R。在MN上方及CD下方有水平方向的勻強磁場I和II，磁感應強度大小均為B�，F(xiàn)有質量為m、電阻不計的導體棒ab，從半圓環(huán)的最高點A處由靜止下落，在下落過程中導體棒始終保持水平，與半圓形金屬環(huán)及軌道接觸良好，平行軌道足夠長。已知導體棒ab下落r/2時的速度大小為v₁，下落到MN處的速度大小為v₂。
（1）求導體棒ab從A下落r/2時的加速度大小。
（2）若導體棒ab進入磁場II后棒中電流大小始終不變，求磁場I和II之間的距離h和R₂上的電功率P₂。
（3）若將磁場II的CD邊界略微下移，導體棒ab剛進入磁場II時速度大小為v₃，要使其在外力F作用下做勻加速直線運動，加速度大小為a，求所加外力F隨時間變化的關系式。

Answer 1

解：（1）以導體棒為研究對象，棒在磁場I中切割磁感線，棒中產生產生感應電動勢，導體棒ab從A下落r/2時，導體棒在重力與安培力作用下做加速運動，由牛頓第二定律
Mg－BIL=ma，式中l(wèi)=r，，式中=4R
得
（2）當導體棒ab通過磁場II時，若安培力恰好等于重力，棒中電流大小始終不變，即
，
得
導體棒從MN到CD做加速度為g的勻加速直線運動，有
得
此時導體棒重力的功率為
根據能量守恒定律，此時導體棒重力的功率等于電路中的總電功率P_總，而R₁、R₂并聯(lián)，功率與電阻成反比，因此＝
（3）設導體棒ab進入磁場II后經過時間t的速度大小為v_t′，此時安培力大小為
ab做勻加速直線運動，有v_t′=v₃+at
根據牛頓第二定律，有F+mg－F′=ma
即
解得