Question

（25分）從赤道上的 C 點(diǎn)發(fā)射洲際導(dǎo)彈，使之精確地?fù)糁斜睒O點(diǎn) N，要求發(fā)射所用的能量最少。假定地球是一質(zhì)量均勻分布的半徑為 R 的球體，R＝6400 km。已知質(zhì)量為 m 的物體在地球引力作用下作橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，其能量 E 與橢圓半長(zhǎng)軸 a 的關(guān)系為

式中 M 為地球質(zhì)量，G 為引力常量。

1. 假定地球沒(méi)有自轉(zhuǎn)，求最小發(fā)射速度的大小和方向（用速度方向與地心 O 到發(fā)射點(diǎn) C 的連線之間的夾角表示）。

2. 若考慮地球的自轉(zhuǎn)，則最小發(fā)射速度的大小為多少？

3. 試導(dǎo)出  。

Answer 1

參考解答：

1. 這是一個(gè)大尺度運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)彈發(fā)射后，在地球引力作用下，將沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，如果導(dǎo)彈能打到 N 點(diǎn)，則此橢圓一定位于過(guò)地心 O、北極點(diǎn) N 和赤道上的發(fā)射點(diǎn) C 組成的平面（此平面是 C 點(diǎn)所在的子午面）內(nèi)，因此導(dǎo)彈的發(fā)射速度（初速度 v ）必須也在此平面內(nèi)，地心 O 是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)。根據(jù)對(duì)稱性，注意到橢圓上的 C、N 兩點(diǎn)到焦點(diǎn) O 的距離相等，故所考察橢圓的長(zhǎng)軸是過(guò) O 點(diǎn)垂直 CN 的的直線，即圖上的直線 AB，橢圓的另一焦點(diǎn)必在 AB 上。已知質(zhì)量為 m 的物體在質(zhì)量為 M 的地球的引力作用下作橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體和地球構(gòu)成的系統(tǒng)的能量 E（無(wú)窮遠(yuǎn)作為引力勢(shì)能的零點(diǎn)）與橢圓半長(zhǎng)軸 a 的關(guān)系為

（1）

要求發(fā)射的能量最少，即要求橢圓的半長(zhǎng)軸 a 最短。根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可知，橢圓的兩焦點(diǎn)到橢圓上任一點(diǎn)的距離之和為 2a，現(xiàn) C 點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn) O 的距離是定值，等于地球的半徑是 R，只要位于長(zhǎng)軸上的另一焦點(diǎn)到 C 的距離最小，該橢圓的半長(zhǎng)軸就最小。顯然，當(dāng)另一焦點(diǎn)位于 C 到 AB 的垂線的垂足處時(shí)，C 到該焦點(diǎn)的距離必最小。由幾何關(guān)系可知

（2）

設(shè)發(fā)射時(shí)導(dǎo)彈的速度為 v，則有

（3）

解（1）、（2）、（3）式得

（4）

因

　（5）

比較（4）、（5）兩式得

（6）

代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

v＝7.2 km/s 　（7）

速度的方向在 C 點(diǎn)與橢圓軌道相切，根據(jù)解析幾何知識(shí)，從橢圓上一點(diǎn)的切線的垂直線，平分兩焦點(diǎn)到該點(diǎn)連線的夾角 ∠OCP，從圖中可看出，速度方向與 OC 的夾角

　（8）

2. 由于地球繞通過(guò) ON 的軸自轉(zhuǎn)，在赤道上 C 點(diǎn)相對(duì)地心的速度為

　（9）

式中 R 是地球的半徑，T 為地球自轉(zhuǎn)的周期，T＝24×3600 s＝86400 s，故

　（10）

C 點(diǎn)速度的方向垂直于子午面（圖中紙面）。位于赤道上 C 點(diǎn)的導(dǎo)彈發(fā)射前也有與子午面垂直的速度 v_C，為使導(dǎo)彈相對(duì)于地心速度位于子午面內(nèi)，且滿足（7）、（8）兩式的要求，導(dǎo)彈相當(dāng)于地面（ C 點(diǎn)）的發(fā)射速度應(yīng)有一大小等于 v_C，方向與 v_C 相反的分速度，以使導(dǎo)彈在此方向相當(dāng)于地心的速度為零，導(dǎo)彈的速度的大小為

（11）

代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

v′＝7.4 km/s （12）

它在赤道面內(nèi)的分速度與 v_C 相反，它在子午面內(nèi)的分速度滿足（7）、（8）兩式。

3. 質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)在地球引力作用下的運(yùn)動(dòng)服從機(jī)械能守恒定律和開(kāi)普勒定律，故對(duì)于近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)有下列關(guān)系式

　（13）

（14）

式中 v₁、v₂ 分別為物體在遠(yuǎn)地點(diǎn)和近地點(diǎn)的速度，r₁、r₂ 為遠(yuǎn)地點(diǎn)和近地點(diǎn)到地心的距離。將（14）式中的 v₁ 代入（13）式，經(jīng)整理得

　（15）

注意到

r₁＋r₂＝2a 　（16）

得

（17）

因

（18）

有（16）、（17）、（18）式得

（19）