Question

（25分）從赤道上的 C 點發(fā)射洲際導彈，使之精確地擊中北極點 N，要求發(fā)射所用的能量最少。假定地球是一質(zhì)量均勻分布的半徑為 R 的球體，R＝6400 km。已知質(zhì)量為 m 的物體在地球引力作用下作橢圓運動時，其能量 E 與橢圓半長軸 a 的關系為

式中 M 為地球質(zhì)量，G 為引力常量。

1. 假定地球沒有自轉(zhuǎn)，求最小發(fā)射速度的大小和方向（用速度方向與地心 O 到發(fā)射點 C 的連線之間的夾角表示）。

2. 若考慮地球的自轉(zhuǎn)，則最小發(fā)射速度的大小為多少？

3. 試導出  。

Answer 1

參考解答：

1. 這是一個大尺度運動，導彈發(fā)射后，在地球引力作用下，將沿橢圓軌道運動，如果導彈能打到 N 點，則此橢圓一定位于過地心 O、北極點 N 和赤道上的發(fā)射點 C 組成的平面（此平面是 C 點所在的子午面）內(nèi)，因此導彈的發(fā)射速度（初速度 v ）必須也在此平面內(nèi)，地心 O 是橢圓的一個焦點。根據(jù)對稱性，注意到橢圓上的 C、N 兩點到焦點 O 的距離相等，故所考察橢圓的長軸是過 O 點垂直 CN 的的直線，即圖上的直線 AB，橢圓的另一焦點必在 AB 上。已知質(zhì)量為 m 的物體在質(zhì)量為 M 的地球的引力作用下作橢圓運動時，物體和地球構(gòu)成的系統(tǒng)的能量 E（無窮遠作為引力勢能的零點）與橢圓半長軸 a 的關系為

（1）

要求發(fā)射的能量最少，即要求橢圓的半長軸 a 最短。根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可知，橢圓的兩焦點到橢圓上任一點的距離之和為 2a，現(xiàn) C 點到一個焦點 O 的距離是定值，等于地球的半徑是 R，只要位于長軸上的另一焦點到 C 的距離最小，該橢圓的半長軸就最小。顯然，當另一焦點位于 C 到 AB 的垂線的垂足處時，C 到該焦點的距離必最小。由幾何關系可知

（2）

設發(fā)射時導彈的速度為 v，則有

（3）

解（1）、（2）、（3）式得

（4）

因

　（5）

比較（4）、（5）兩式得

（6）

代入有關數(shù)據(jù)得

v＝7.2 km/s �。�7）

速度的方向在 C 點與橢圓軌道相切，根據(jù)解析幾何知識，從橢圓上一點的切線的垂直線，平分兩焦點到該點連線的夾角 ∠OCP，從圖中可看出，速度方向與 OC 的夾角

　（8）

2. 由于地球繞通過 ON 的軸自轉(zhuǎn)，在赤道上 C 點相對地心的速度為

　（9）

式中 R 是地球的半徑，T 為地球自轉(zhuǎn)的周期，T＝24×3600 s＝86400 s，故

　（10）

C 點速度的方向垂直于子午面（圖中紙面）。位于赤道上 C 點的導彈發(fā)射前也有與子午面垂直的速度 v_C，為使導彈相對于地心速度位于子午面內(nèi)，且滿足（7）、（8）兩式的要求，導彈相當于地面（ C 點）的發(fā)射速度應有一大小等于 v_C，方向與 v_C 相反的分速度，以使導彈在此方向相當于地心的速度為零，導彈的速度的大小為

（11）

代入有關數(shù)據(jù)得

v′＝7.4 km/s （12）

它在赤道面內(nèi)的分速度與 v_C 相反，它在子午面內(nèi)的分速度滿足（7）、（8）兩式。

3. 質(zhì)量為 m 的質(zhì)點在地球引力作用下的運動服從機械能守恒定律和開普勒定律，故對于近地點和遠地點有下列關系式

　（13）

（14）

式中 v₁、v₂ 分別為物體在遠地點和近地點的速度，r₁、r₂ 為遠地點和近地點到地心的距離。將（14）式中的 v₁ 代入（13）式，經(jīng)整理得

　（15）

注意到

r₁＋r₂＝2a 　（16）

得

（17）

因

（18）

有（16）、（17）、（18）式得

（19）