Question

如圖所示，在粗糙的水平面上放有質(zhì)量為M=0.3kg的絕緣長(zhǎng)木板，有一質(zhì)量為m=0.2kg，帶電量為q=+4×10^-5C的小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）正沿木板的上表面向左運(yùn)動(dòng)．木板左端有一個(gè)固定在水平面上的四分之一光滑圓形絕緣軌道AB與之相接，軌道的最低點(diǎn)B點(diǎn)與木板的上表面相切．整個(gè)空間加有一個(gè)方向豎直向下、場(chǎng)強(qiáng)大小為E=5×10⁴N/C的勻強(qiáng)電場(chǎng)．已知滑塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁=0.25，木板與水平面間的動(dòng)摩擦因素為μ₂=0.1，滑塊在木板上向左運(yùn)動(dòng)至距離B點(diǎn)x=0.3m處時(shí)速度大小為v₀=2

3

m/s．（g取10m/s²）
求：
（1）滑塊通過(guò)木板滑上固定的光滑圓形軌道AB，沿軌道AB上升的最大高度H；
（2）滑塊沿軌道AB返回運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)的速度v_B的大��；
（3）滑塊沿軌道AB返回運(yùn)動(dòng)滑上木板，要使滑塊不從木板上掉下來(lái)，木板的長(zhǎng)度L至少應(yīng)為多少？
（4）在滿(mǎn)足（3）的條件下，求滑塊停止運(yùn)動(dòng)時(shí)與B點(diǎn)的距離△x是多少？

Answer 1

分析：（1）對(duì)于滑塊上升到最高點(diǎn)過(guò)程，重力、電場(chǎng)力、摩擦力做功，根據(jù)動(dòng)能定理求出滑塊上升的最大高度H；
（2）滑塊從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到返回至B點(diǎn)處過(guò)程，摩擦力和電場(chǎng)力做功，再由動(dòng)能定理求解速度v_B的大��；
（3）滑塊沿軌道AB返回運(yùn)動(dòng)滑上木板，滑塊做勻減速運(yùn)動(dòng)，木塊做勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩者速度相等時(shí)，兩者所走的位移之差即為木板的長(zhǎng)度的最小值．由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求解．
（4）由幾何關(guān)系求出滑塊停止運(yùn)動(dòng)時(shí)與B點(diǎn)的距離△x．

解答：解：（1）對(duì)于滑塊上升到最高點(diǎn)過(guò)程根據(jù)動(dòng)能定理得：
  -μ1(qE+mg)?x-(qE+mg)?H=0-

1

2

m

v

2 0

解得：H=

m v 2 0

2(qE+mg)

-μ1x=0.225m
（2）對(duì)于滑塊從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到返回至B點(diǎn)處過(guò)程根據(jù)動(dòng)能定理得：
  -μ1(qE+mg)?x=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 0

解得：vB=

v 2 0 - 2μ1(qE+mg)?x m

=3m/s
（3）滑塊又滑上木板后做勻減速運(yùn)動(dòng)，滑塊的加速度為a₁=

μ1(mg+qE)

m

=5m/s²．
由于f₁=μ₁（mg+qE）=2N，f₂=μ₂（qE+mg+Mg）=0.7N，則μ₁（mg+qE）＞μ₂（qE+mg+Mg），所以木板由靜止開(kāi)始做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為
  a₂=

f1-f2

M

=1m/s²，
設(shè)兩者經(jīng)過(guò)時(shí)間t速度相等，則  v_B-a₁t=a₂t，解得，t=0.5s
速度相等之后，滑塊與木板相對(duì)靜止做勻減速運(yùn)動(dòng)直至停止．那么速度相等時(shí)，兩者所走的位移之差即為木板的長(zhǎng)度的最小值，
則在兩者相對(duì)滑動(dòng)的過(guò)程中，滑塊的位移為s₁=vBt-

1

2

a1t2，木板的位移為s₂=

1

2

a2t2
木板的長(zhǎng)度的最小值為：L=△s=s₁-s₂，
代入解得，△s=0.75m．
（4）速度相等之后，根據(jù)動(dòng)能定理得
-μ₂（mg+Mg+F）s_共=0-

1

2

(M+m)v2
又 v=a₂t．
解得，s_共=

5

56

m
（4）滑塊停止運(yùn)動(dòng)時(shí)與B點(diǎn)的距離△x=s1+s共=

7

8

+

5

56

=

27

28

m
答：（1）滑塊通過(guò)木板滑上固定的光滑圓形軌道AB，沿軌道AB上升的最大高度H為0.225m；
（2）滑塊沿軌道AB返回運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)的速度v_B的大小是3m/s；
（3）滑塊沿軌道AB返回運(yùn)動(dòng)滑上木板，要使滑塊不從木板上掉下來(lái)，木板的長(zhǎng)度L至少應(yīng)為0.75m．
（4）在滿(mǎn)足（3）的條件下，滑塊停止運(yùn)動(dòng)時(shí)與B點(diǎn)的距離△x是

27

28

m．

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵要耐心細(xì)致地分析物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)木板所受的滑動(dòng)摩擦力與最大靜摩擦力的關(guān)系，判斷木板的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，運(yùn)用動(dòng)能定理、牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合進(jìn)行處理．