Question

17．“玉兔號(hào)”登月車(chē)在月球表面接觸的第一步實(shí)現(xiàn)了中國(guó)人“奔月”的偉大夢(mèng)想．“玉兔號(hào)”在月球表面做了一個(gè)自由下落實(shí)驗(yàn)，測(cè)得物體從靜止自由下落h高度的時(shí)間為t，已知月球半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T(mén)，引力常量為G．則月球同步衛(wèi)星離月球表面高度為$\root{3}{\frac{h{R}^{2}{T}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}-R$．

Answer 1

分析 機(jī)器人自由下落h高度所用時(shí)間為t，根據(jù)：h=$\frac{1}{2}$gt² 求出月球表面的重力加速度g．根據(jù)月球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力列式，月球同步衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列式，聯(lián)立方程可得月球同步衛(wèi)星離月球表面高度h．

解答 解：由自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：h=$\frac{1}{2}$gt²，所以有：g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$，
在月球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力，則有：$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，
月球同步衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$
解得：h=$\root{3}{\frac{h{R}^{2}{T}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}-R$
故答案為：$\root{3}{\frac{h{R}^{2}{T}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}-R$

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力這兩個(gè)理論，并能靈活運(yùn)用．本題重點(diǎn)是利用好月球表面的自由落體運(yùn)動(dòng)，這種以在星球表面自由落體，或平拋物體，或豎直上拋物體給星球表面重力加速度的方式是比較常見(jiàn)的．