Question

17．“玉兔號”登月車在月球表面接觸的第一步實現(xiàn)了中國人“奔月”的偉大夢想．“玉兔號”在月球表面做了一個自由下落實驗，測得物體從靜止自由下落h高度的時間為t，已知月球半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，引力常量為G．則月球同步衛(wèi)星離月球表面高度為$\root{3}{\frac{h{R}^{2}{T}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}-R$．

Answer 1

分析 機器人自由下落h高度所用時間為t，根據(jù)：h=$\frac{1}{2}$gt² 求出月球表面的重力加速度g．根據(jù)月球表面的物體受到的重力等于萬有引力列式，月球同步衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力列式，聯(lián)立方程可得月球同步衛(wèi)星離月球表面高度h．

解答 解：由自由落體運動規(guī)律有：h=$\frac{1}{2}$gt²，所以有：g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$，
在月球表面的物體受到的重力等于萬有引力，則有：$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，
月球同步衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$
解得：h=$\root{3}{\frac{h{R}^{2}{T}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}-R$
故答案為：$\root{3}{\frac{h{R}^{2}{T}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}-R$

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，并能靈活運用．本題重點是利用好月球表面的自由落體運動，這種以在星球表面自由落體，或平拋物體，或豎直上拋物體給星球表面重力加速度的方式是比較常見的．