Question

6．如（a）圖所示的控制電子運(yùn)動裝置由偏轉(zhuǎn)電場、偏轉(zhuǎn)磁場組成．偏轉(zhuǎn)電場處在加有電壓U、相距為d的兩塊水平平行放置的導(dǎo)體板之間，勻強(qiáng)磁場水平寬度一定，豎直長度足夠大，其緊靠偏轉(zhuǎn)電場的右邊．大量電子以相同初速度連續(xù)不斷地沿兩板正中間虛線的方向向右射入偏轉(zhuǎn)電場．當(dāng)兩板間沒有加電壓時，這些電子通過兩板之間的時間為2t₀，當(dāng)兩板間加上如（b）圖所示的電壓U時，所有電子均能通過電場、穿過磁場，最后打在豎直放置的熒光屏上．已知電子的質(zhì)量為m、電荷量為g，不計(jì)電子的重力及電子間的相互作用，電壓U的最大值為U₀，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向水平且垂直紙面向里．
（1）如果電子在t=t₀時刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場，求它離開偏轉(zhuǎn)電場時豎直分位移的大�。�
（2）要使電子在t=0時刻進(jìn)入電場并能最終垂直打在熒光屏上，勻強(qiáng)磁場的水平寬度l為多少？
（3）證明：在滿足（2）問的條件下，所有電子自進(jìn)入板間到最終打在熒光屏上的總時間相同，并求出此時間．

Answer 1

分析 （1）電子在t=t₀時刻進(jìn)入兩板間，先做勻速直線運(yùn)動，后做類平拋運(yùn)動，根據(jù)平拋運(yùn)動的基本公結(jié)合牛頓第二定律求解；
（2）設(shè)電子從電場中射出的偏向角為θ，速度為v，求出電子從電場中射出沿電場方向的分速度，電子通過勻強(qiáng)磁場并能垂直打在熒光屏上，其圓周運(yùn)動的半徑為R，根據(jù)牛頓第二定律結(jié)合幾何關(guān)系求解；
（3）論何時進(jìn)入兩板間的電子，在兩板間運(yùn)動的時間均為t₁=2t₀，進(jìn)入偏轉(zhuǎn)磁場時，電子速度大小相同，方向平行，所以電子在磁場中的軌道半徑相同，都垂直打在熒光屏上，根據(jù)幾何關(guān)系，電子在磁場中運(yùn)動軌跡所對的圓心角相同，結(jié)合周期公式求解圓周運(yùn)動的時間，從而求出總時間．

解答 解：（1）電子在t=t₀時刻進(jìn)入兩板間，先做勻速直線運(yùn)動，后做類平拋運(yùn)動，在2t₀-3t₀時間內(nèi)發(fā)生偏轉(zhuǎn)，
根據(jù)牛頓第二定律得：a=$\frac{Ee}{m}=\frac{e{U}_{0}}{md}$，
它離開偏轉(zhuǎn)電場時，豎直分位移的大小y=$\frac{1}{2}a{{t}_{0}}^{2}=\frac{e{U}_{0}{{t}_{0}}^{2}}{2md}$
（2）設(shè)電子從電場中射出的偏向角為θ，速度為v，則電子從電場中射出沿電場方向的分速度
${v}_{y}=a{t}_{0}=\frac{e{U}_{0}{t}_{0}}{md}$，
sin$θ=\frac{{v}_{y}}{v}=\frac{e{U}_{0}{t}_{0}}{mdv}$
電子通過勻強(qiáng)磁場并能垂直打在熒光屏上，其圓周運(yùn)動的半徑為R，根據(jù)牛頓第二定律有：
R=$\frac{mv}{Be}$，由幾何關(guān)系得：sin$θ=\frac{l}{R}$
聯(lián)立解得水平寬度l=Rsin$θ=\frac{mvsinθ}{eB}=\frac{m{v}_{y}}{eB}=\frac{m}{eB}•\frac{e{U}_{0}{t}_{0}}{md}$=$\frac{{U}_{0}{t}_{0}}{md}$
（3）證明：無
論何時進(jìn)入兩板間的電子，在兩板間運(yùn)動的時間均為t₁=2t₀，
射出電場時的豎直分速度v_y均相同，${v}_{y}=a{t}_{0}=\frac{e{U}_{0}{t}_{0}}{md}$，
射出電場時速度方向與初速度v₀方向的夾角θ均相同，滿足$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{{eU}_{0}{t}_{0}}{md{v}_{0}}$，
因此進(jìn)入偏轉(zhuǎn)磁場時，電子速度大小相同，方向平行，所以電子在磁場中的軌道半徑相同，
都垂直打在熒光屏上，根據(jù)幾何關(guān)系，電子在磁場中運(yùn)動軌跡所對的圓心角一定都為θ，
則在磁場中運(yùn)動時間相同，且總時間t=${t}_{1}+{t}_{2}=2{t}_{0}+\frac{θ}{2π}•\frac{2πm}{Bq}=2{t}_{0}+\frac{θm}{eB}$，
其中$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{{eU}_{0}{t}_{0}}{md{v}_{0}}$．
答：（1）它離開偏轉(zhuǎn)電場時豎直分位移的大小為$\frac{e{U}_{0}{{t}_{0}}^{2}}{2md}$．
（2）要使電子在t=0時刻進(jìn)入電場并能最終垂直打在熒光屏上，勻強(qiáng)磁場的水平寬度l為$\frac{{U}_{0}{t}_{0}}{md}$；
（3）證明如上，此時間為$2{t}_{0}+\frac{θm}{eB}$，其中$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{{eU}_{0}{t}_{0}}{md{v}_{0}}$．

點(diǎn)評 帶電粒子在垂直的電場中做類平拋運(yùn)動，在垂直的磁場中做勻速圓周運(yùn)動．類平拋運(yùn)動可用平拋運(yùn)動規(guī)律來處理，圓周運(yùn)動的可建立幾何關(guān)系來列式求解．