Question

20．2015年2月20日，“火星一號(hào)”移民計(jì)劃公布了第一批候選人名單，其中有4名華人入圍，經(jīng)過(guò)層層選拔的24人將從2024年開(kāi)始陸續(xù)登陸火星．假若某志愿者登上火星后將一小球從高為h的地方由靜止釋放，不計(jì)空氣阻力，測(cè)得經(jīng)時(shí)間t小球落地．已知火星的半徑為R，引力常數(shù)為G，不考慮火星自轉(zhuǎn)的影響．求：
（1）火星的質(zhì)量；
（2）環(huán)繞火星表面運(yùn)行的衛(wèi)星的周期．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$可解得火星表面重力加速度，根據(jù)火星表面的物體，萬(wàn)有引力等于重力求解火星質(zhì)量；
（2）設(shè)環(huán)繞火星表面運(yùn)行的衛(wèi)星的周期為T(mén)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求解周期．

解答 解：（1）小球在火星上做自由落體運(yùn)動(dòng)，則有：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
根據(jù)火星表面的物體，萬(wàn)有引力等于重力得：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
解得火星的質(zhì)量為：M=$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$
（2）設(shè)環(huán)繞火星表面運(yùn)行的衛(wèi)星的周期為T(mén)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得：T=$πt\sqrt{\frac{2R}{h}}$
答：（1）火星的質(zhì)量為$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$；
（2）環(huán)繞火星表面運(yùn)行的衛(wèi)星的周期為$πt\sqrt{\frac{2R}{h}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬(wàn)有引力定律理論與自由落體運(yùn)動(dòng)的綜合，通過(guò)自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出星球表面的重力加速度是關(guān)鍵，掌握萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力這兩個(gè)重要理論，并能靈活運(yùn)用．