Question

19．在光滑水平桌面中央固定一邊長為0.3m的小正三棱柱abc俯視如圖．長度為L=1m的細線，一端固定在a點，另一端拴住一個質量為m=0.5kg、不計大小的小球．初始時刻，把細線拉直在ca的延長線上，并給小球以v₀=2m/s且垂直于細線方向的水平速度，由于光滑棱柱的存在，細線逐漸纏繞在棱柱上（不計細線與三棱柱碰撞過程中的能量損失，即速率不變）．已知細線所能承受的最大張力為7N，繩斷后小球從桌面滑落，小球在落地時速度與豎直方向夾角為45°（g=10m/s²）求：
（1）桌面高度h．
（2）繩子斷裂前，小球運動位移．
（3）小球從開始運動到繩斷的總時間（結果可用π表示）．

Answer 1

分析 1、繩斷后小球從桌面滑落，做平拋運動，小球在落地時速度與豎直方向夾角為45°，根據(jù)平拋運動的規(guī)律得出桌面高度
2，3、細線斷裂之前，繩子拉力與速度垂直，小球的速度大小不變．繩子剛斷裂時，拉力大小為7N，由F=m$\frac{{v}^{2}}{r}$求出此時的半徑．小球每轉120°半徑減小0.3m，確定出小球轉動的圈數(shù)，求出時間．根據(jù)初位置、末位置的直線距離求解位移大�。�

解答 解：（1）繩斷后小球從桌面滑落，做平拋運動，小球在落地時速度與豎直方向夾角為45°，
小球初速度v₀=2m/s，所以v_y=$\sqrt{2gh}$=2m/s，
所以h=0.2m
（2）當小球從初始位置移動到ab延長線方向時，
細線張力F₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{L-0.3}$=$\frac{20}{7}$N
當小球從ab延長線方向移動到bc延長線方向時，細線張力F₂=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{L-0.6}$=5N
當小球從bc延長線方向移動到ca延長線方向時，細線張力F₃=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{L-0.9}$=20N
故小球運動至ca方向時繩子斷裂．
小球位移x=1m-0.1m=0.9m
（3）當小球從初始位置移動到ab延長線方向過程中，時間 t₁=$\frac{1}{3}$×$\frac{2π×1}{2}$=$\frac{π}{3}$s
當小球從ab延長線方向移動到bc延長線方向過程中，時間t₂=$\frac{1}{3}$×$\frac{2π×0.7}{2}$=$\frac{0.7π}{3}$s---（1分）
當小球從bc延長線方向移動到ca延長線方向過程中，時間t₃=$\frac{0.4π}{3}$s
則小球從開始運動到繩斷的總時間t=t1+t2+t3=0.7π s．
答：（1）桌面高度是0.2m．
（2）繩子斷裂前，小球運動位移是0.9m．
（3）小球從開始運動到繩斷的總時間是0.7π s

點評 本題是物理數(shù)列類型，通過分析，抓住小球每轉120°半徑減小0.3m，確定出小球轉動的圈數(shù)是關鍵．