Question

12．如圖所示，在豎直平面內(nèi)固定有兩個很靠近的同心圓軌道，外圓光滑，內(nèi)圓粗糙．一質(zhì)量為m的小球從軌道的最低點以初速度v₀向右運(yùn)動，球的直徑略小于兩圓間距，球運(yùn)動的軌道半徑為R，不計空氣阻力．設(shè)小球過最低點時重力勢能為零，下列說法正確的是（　�。�

• A． 小球在同心圓軌道內(nèi)運(yùn)動過程中，機(jī)械能一定減小
• B． 若經(jīng)過足夠長時間，小球最終的機(jī)械能可能為mgR
• C． 若小球在運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒，則v₀一定不小于$\sqrt{5gR}$
• D． 若小球第一次運(yùn)動到最高點時速度大小為0，則v₀一定大于$\sqrt{4gR}$

Answer 1

分析 內(nèi)圓粗糙，小球與內(nèi)圓接觸時要受到摩擦力作用，要克服摩擦力做功，機(jī)械能不守恒；外圓光滑，小球與外圓接觸時不受摩擦力作用，只有重力做功，機(jī)械能守恒，應(yīng)用牛頓第二定律與機(jī)械能守恒定律分析答題．

解答 解：A、若小球運(yùn)動的速度較大，小球運(yùn)動過程中不與內(nèi)圓接觸，與外圓接觸，則運(yùn)動的過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，故A錯誤．
B、若初速度v₀比較小，小球在運(yùn)動過程中一定與內(nèi)圓接觸，機(jī)械能不斷減少，經(jīng)過足夠長時間，小球最終在圓心下方運(yùn)動，最大的機(jī)械能為mgR，故B正確．
C、若小球在運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒，臨界情況是最高點靠重力提供向心力，根據(jù)mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$得，$v=\sqrt{gR}$，根據(jù)機(jī)械能守恒知，$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=mg•2R+\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得${v}_{0}=\sqrt{5gR}$，可知v₀一定不小于$\sqrt{5gR}$，故C正確．
D、如果內(nèi)圓光滑，小球在運(yùn)動過程中不受摩擦力，小球在運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒，如果小球運(yùn)動到最高點時速度為0，由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=mg•2R，小球在最低點時的速度${v}_{0}=\sqrt{4gR}$，由于內(nèi)圓粗糙，小球在運(yùn)動過程中要克服摩擦力做功，則小球在最低點時的速度v₀一定大于$\sqrt{4gR}$，故D正確．
故選：BCD．

點評 本題的關(guān)鍵是理清運(yùn)動過程，抓住臨界狀態(tài)，明確最高點的臨界條件，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律和向心力知識結(jié)合進(jìn)行研究．