Question

如圖左所示，邊長(zhǎng)為l和L的矩形線框aa′、bb′互相垂直，彼此絕緣，可繞中心軸O₁O₂轉(zhuǎn)動(dòng)，將兩線框的始端并在一起接到滑環(huán)C，末端并在一起接到滑環(huán)D，C、D彼此絕緣．通過(guò)電刷跟C、D連接．線框處于磁鐵和圓柱形鐵芯之間的磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)邊緣中心的張角為45°，如圖右所示（圖中的圓表示圓柱形鐵芯，它使磁鐵和鐵芯之間的磁場(chǎng)沿半徑方向，如圖箭頭所示）．不論線框轉(zhuǎn)到磁場(chǎng)中的什么位置，磁場(chǎng)的方向總是沿著線框平面．磁場(chǎng)中長(zhǎng)為l的線框邊所在處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小恒為B，設(shè)線框aa′和bb′的電阻都是r，兩個(gè)線框以角速度ω逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，電阻R=2r．
（1）求線框aa′轉(zhuǎn)到圖右位置時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小；
（2）求轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中電阻R上的電壓最大值；
（3）從線框aa′進(jìn)入磁場(chǎng)開(kāi)始，作出0～T（T是線框轉(zhuǎn)動(dòng)周期）時(shí)間內(nèi)通過(guò)R的電流i_R隨時(shí)間變化的圖象；
（4）求外力驅(qū)動(dòng)兩線框轉(zhuǎn)動(dòng)一周所做的功．

Answer 1

（1）由題，線框轉(zhuǎn)到磁場(chǎng)中的任何位置時(shí)，磁場(chǎng)的方向總是沿著線框平面，則線框切線感線的速度方向始終與磁感線垂直，則感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小E=2Blv=2Blω

L

2

=BlLω．
（2）線框轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，只有一個(gè)線框進(jìn)入磁場(chǎng)切割磁感線作為電源，另一個(gè)線框與外接電阻R并聯(lián)后作為外電路，則電源的內(nèi)阻為r，外電路總電阻為R_外=

Rr

R+r

=

2

3

r，故R兩端的電壓最大值為：
   U_R=IR_外=

E

r+ 2 3 r

?

2

3

r=

2

5

BlLω
（3）aa′和bb′在磁場(chǎng)中，通過(guò)R的電流大小相等，
    i_R=

UR

R

=

2

5

BlLω?

1

2r

=

BlLω

5r

．
從線框aa′進(jìn)入磁場(chǎng)開(kāi)始，每轉(zhuǎn)45°，即

T

8

周期時(shí)間，電流發(fā)生一次變化，作出電流的圖象如圖所示．
（4）每個(gè)線框作為電源時(shí)，電路中總電流為：
    I=

E

R外+r

=

E

2 3 r+r

=

3E

5r

，提供的總功率為P=EI=

3E2

5r

=

3(BlLω)2

5r

根據(jù)能量轉(zhuǎn)化和守恒定律得：
    W_外=4P?

T

8

=P?

T

2

=P?

π

ω

=

3πB2l2L2ω

5r

答：（1）線框aa′轉(zhuǎn)到圖右位置時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小為BlLω．；
（2）轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中電阻R上的電壓最大值

2

5

BlLω；
（3）從線框aa′進(jìn)入磁場(chǎng)開(kāi)始，在0～T時(shí)間內(nèi)通過(guò)R的電流i_R隨時(shí)間變化的圖象如圖所示；
（4）外力驅(qū)動(dòng)兩線框轉(zhuǎn)動(dòng)一周所做的功為

3πB2l2L2ω

5r

．