Question

一根不可伸長(zhǎng)的細(xì)輕繩，穿上一粒質(zhì)量為的珠子（視為質(zhì)點(diǎn)），繩的下端固定在點(diǎn)，上端系在輕質(zhì)小環(huán)上，小環(huán)可沿固定的水平細(xì)桿滑動(dòng)（小環(huán)的質(zhì)量及與細(xì)桿摩擦皆可忽略不計(jì)），細(xì)桿與在同一豎直平面內(nèi)．開始時(shí)，珠子緊靠小環(huán)，繩被拉直，如圖復(fù)19-7-1所示，已知，繩長(zhǎng)為，點(diǎn)到桿的距離為，繩能承受的最大張力為，珠子下滑過(guò)程中到達(dá)最低點(diǎn)前繩子被拉斷，求細(xì)繩被拉斷時(shí)珠子的位置和速度的大小（珠子與繩子之間無(wú)摩擦）

注：質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，它在任一點(diǎn)的加速度沿該點(diǎn)軌道法線方向的分量稱為法向加速度，可以證明，，為質(zhì)點(diǎn)在該點(diǎn)時(shí)速度的大小，為軌道曲線在該點(diǎn)的“曲率半徑”，所謂平面曲線上某點(diǎn)的曲率半徑，就是在曲線上取包含該點(diǎn)在內(nèi)的一段弧，當(dāng)這段弧極小時(shí)，可以把它看做是某個(gè)“圓”的弧，則此圓的半徑就是曲線在該點(diǎn)的曲率半徑．如圖復(fù)19-7-2中曲線在點(diǎn)的曲率半徑為，在點(diǎn)的曲率半徑為．

Answer 1

1. 珠子運(yùn)動(dòng)的軌跡

建立如圖復(fù)解19-7所示的坐標(biāo)系，原點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)的豎直線與細(xì)桿相交處，軸沿細(xì)桿向右，軸沿向下。當(dāng)珠子運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處且繩子未斷時(shí)，小環(huán)在處，垂直于軸，所以珠子的坐標(biāo)為

           

由知

           

即有，得

                                             （1）

這是一個(gè)以軸為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)位于處，焦點(diǎn)與頂點(diǎn)的距離為的拋物線，如圖復(fù)解19-7-1所示，圖中的，為焦點(diǎn)。

2. 珠子在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程

因?yàn)楹雎岳K子的質(zhì)量，所以可把與珠子接觸的那一小段繩子看做是珠子的一部分，則珠子受的力有三個(gè)，一是重力；另外兩個(gè)是兩繩子對(duì)珠子的拉力，它們分別沿和方向，這兩個(gè)拉力大小相等，皆用表示，則它們的合力的大小為

                                                    （2）

為點(diǎn)兩邊繩子之間夾角的一半，沿的角平分線方向。

因?yàn)?sub>是焦點(diǎn)至的連線，平行于軸，根據(jù)解析幾何所述的拋物線性質(zhì)可知，點(diǎn)的法線是的角平分線．故合力的方向與點(diǎn)的法線一致。

由以上的論證．再根據(jù)牛頓定律和題中的注，珠子在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程（沿法線方向）應(yīng)為

                                        （3）

                                        （4）

式中是點(diǎn)處軌道曲線的曲率半徑；為珠子在處時(shí)速度的大小。根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得

                                                           （5）

3. 求曲車半徑

當(dāng)繩子斷裂時(shí)，由（4）式可見，如果我們能另想其他辦法求得曲率半徑與的關(guān)系,則就可能由（4）、（5）兩式求得繩子斷裂時(shí)珠子的縱坐標(biāo)�，F(xiàn)提出如下一種辦法。做一條與小珠軌跡對(duì)于軸呈對(duì)稱狀態(tài)的拋物線，如圖復(fù)解19-7-2所示。由此很容易想到這是一個(gè)從高處平拋物體的軌跡。平拋運(yùn)動(dòng)是我們熟悉的，我們不僅知道其軌跡是拋物線，而且知道其受力情況及詳細(xì)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。這樣我們可不必通過(guò)軌道方程而是運(yùn)用力學(xué)原理分析其運(yùn)動(dòng)過(guò)程即可求出與對(duì)稱的點(diǎn)處拋物線的曲率半徑與的關(guān)系，也就是處拋物線的曲率半徑與的關(guān)系。

設(shè)從拋出至落地的時(shí)間為，則有

           

由此解得

                                                   （7）

設(shè)物體在處的速度為，由機(jī)械能守恒定律可得

                                           （8）

物體在處法線方向的運(yùn)動(dòng)方程為

                                                  （9）

式中即為處拋物線的曲率半徑，從（7）、（8）、（9）式及,可求得

               

這也等于點(diǎn)拋物線的曲率半徑，，故得

                                                     （10）

4. 求繩被拉斷時(shí)小珠的位置和速度的大小

把（5）式和（10）式代入（4）式，可求得繩子的張力為

                                                     （11）

當(dāng)時(shí)繩子被拉斷，設(shè)此時(shí)珠子位置的坐標(biāo)為，由（11）式得

                                                   （12）

代入（1）式，得

                                        （13）

繩子斷開時(shí)珠子速度的大小為

                                       （14）