Question

17．甲、乙兩船分別在同一條水流速恒定的河流中行駛，甲船從上游A地向下順水勻速行駛，乙船則同時從下游B地向上逆水勻速行駛，兩船出發(fā)后4小時在AB中點第一次相遇．甲船到B地、乙船到A地均立即掉頭返回，兩船在距第一次相遇點30km處第二次相遇．已知兩船行駛的靜水速度保持恒定．求：
（1）水流速度（單位：km/h）
（2）該河流的河岸寬度為2km，當甲船以靜水速度v₁=7.5km/h，乙船以靜水速度v₂=15km/h分別垂直橫渡到正對岸，甲船渡河所需的時間是多少？乙船的船頭與上游河岸的夾角需多大？（可用三角函數表達）

Answer 1

分析 （1）以岸為參照物，根據位移與速度的比值為時間，結合題意，即可求解；
（2）根據垂直橫渡正對岸，結合矢量的合成法則，及三角知識，即可求解．

解答 解：（1）以岸為參照物，
設AB相距x，水流速度v，甲船靜水速度v₁，乙船靜水速度v₂
由題意　　　　　$\frac{x}{{2（{v_0}+{v_1}）}}=\frac{x}{{2（{v_2}-{v_0}）}}=4$$\frac{{\frac{x}{2}+30}}{{{v_2}+{v_0}}}=\frac{{\frac{x}{2}-30}}{{{v_1}-{v_0}}}$
得：v₀=$\frac{15}{4}$=3.75km/h
（2）甲船垂直橫渡正對岸，對岸速度v₁′=$\sqrt{{v}_{1}^{2}-{v}_{0}^{2}}$=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$km/h
所需時間　　　${t'_1}=\frac{L}{{{{v'}_1}}}=\frac{{8\sqrt{3}}}{45}≈0.31h$
乙船垂直橫渡正對岸，船頭與上游河岸的夾角滿足cosα=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{1}}$=$\frac{\frac{15}{4}}{15}$=$\frac{1}{4}$
答：（1）水流速度3.75km/h；
（2）該河流的河岸寬度為2km，當甲船以靜水速度v₁=7.5km/h，乙船以靜水速度v₂=15km/h分別垂直橫渡到正對岸，甲船渡河所需的時間是0.31h；
乙船的船頭與上游河岸的夾角的余弦值為$\frac{1}{4}$．

點評 考查運動的合成與分解，掌握矢量的合成法則的應用，注意區(qū)別最短時間與最短位移渡河的情況．