Question

2．如圖所示，光滑絕緣的半圓形軌道固定于豎直平面內(nèi)，半圓形軌道與光滑絕緣的水平地面相切于半圓的端點A．一質(zhì)量為m的小球在水平地面上勻速運動，速度為v，經(jīng)A運動到軌道最高點B，最后又落在水平地面上的D點（圖中未畫出）．已知整個空間存在豎直向下的勻強電場，小球帶正電荷，小球所受電場力的大小等于mg，g為重力加速度．
（1）若軌道半徑為R，求小球到達半圓形軌道B點時對軌道的壓力；
（2）為使小球能運動到軌道最高點B，求軌道半徑的最大值；
（3）軌道半徑多大時，小球在水平地面上的落點D到A點距離最大？

Answer 1

分析 （1）先由動能定理求出小球到達B點時的速度大小，再由牛頓第二定律求出軌道對小球的彈力，即可由牛頓第三定律得到小球?qū)�軌道的壓力�?br />（2）當小球?qū)�軌道的壓力恰好為零時，求出軌道半徑的最大值R_m；
（3）小球離開B點后做平拋運動，根據(jù)高度求出平拋運動的時間，再根據(jù)初速度和時間求出平拋運動的水平位移表達式，運用數(shù)學知識求解．

解答 解：由題意可知，電場力：F=qE=mg，方向：豎直向下；
（1）小球從A到B過程，由動能定理得：-mg•2R-F•2R=$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv²，
在B點，由牛頓第二定律得：mg+F+N=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
解得：N=$\frac{m{v}^{2}}{R}$-10mg，
由牛頓第三定律可知，小球?qū)�軌道的壓力：N′=N=$\frac{m{v}^{2}}{R}$-10mg，方向：豎直向上；
（2）小球從A到B過程，由動能定理得：-mg•2R-F•2R=$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv²，
小球恰好運動到B點時，小球?qū)�軌道壓力為零�?br />在B點，由牛頓第二定律得：mg+F=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{{R}_{max}}$，
解得：R_max=$\frac{{v}^{2}}{2g}$-4R；
（3）小球離開B點做平拋運動，
豎直方向：2R=$\frac{1}{2}$gt²，
水平方向：x=v_Bt，
解得：x=$\sqrt{-32{R}^{2}+\frac{4{v}^{2}}{g}R}$=$\sqrt{-32（R-\frac{{v}^{2}}{16g}）^{2}+\frac{{v}^{4}}{8{g}^{2}}}$，
當：R=$\frac{{v}^{2}}{16g}$，水平位移最大，為：x_max=$\frac{\sqrt{2}{v}^{2}}{4g}$；
答：（1）小球到達半圓形軌道B點時對軌道的壓力大小為：$\frac{m{v}^{2}}{R}$-10mg，方向：豎直向上；
（2）軌道半徑的最大值為：$\frac{{v}^{2}}{2g}$-4R；
（3）軌道半徑為R=$\frac{{v}^{2}}{16g}$時，小球在水平地面上的落點D到A點距離最大，最大距離為$\frac{\sqrt{2}{v}^{2}}{4g}$．

點評 本題綜合運用了動能定理、牛頓第二定律、平拋運動，綜合性較強，關鍵理清過程，選擇適當?shù)亩ɡ砘蚨�律進行解題．