Question

如圖18-1，勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧一端固定在墻上，另

一端和質(zhì)量為M的容器連接，容器放在光滑水平的地面上，
當(dāng)容器位于O點(diǎn)時(shí)彈簧為自然長度，在O點(diǎn)正上方有一滴管，
容器每通過O點(diǎn)一次，就有質(zhì)量為m的一個(gè)液滴落入容器，
開始時(shí)彈簧壓縮，然后撒去外力使容器圍繞O點(diǎn)往復(fù)運(yùn)動(dòng)， 
求：
小題1:(1)容器中落入n個(gè)液滴到落入（n+1）個(gè)液滴的時(shí)間間  
隔；
小題2:(2)容器中落入n個(gè)液滴后，容器偏離O點(diǎn)的最大位移。

Answer 1

小題1:△t =π
小題2:L_n=L₀

本題中求容器內(nèi)落入n個(gè)液滴后偏離O點(diǎn)的最大位移時(shí)，若從動(dòng)量守恒和能量守恒的角度求解，將涉及彈簧彈性勢(shì)能的定量計(jì)算，超出了中學(xué)大綱的要求，如果改用動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律求解，則可轉(zhuǎn)換成大綱要求的知識(shí)的試題。  
小題1:(1)彈簧振子在做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過程中，影響其振動(dòng)周期的因素有振子的質(zhì)量和恢復(fù)系數(shù)(對(duì)彈簧振子即為彈簧的勁度系數(shù))，本題中恢復(fù)系數(shù)始終不變，液滴的落入使振子的質(zhì)量改變，導(dǎo)致其做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期發(fā)生變化。
容器中落入n個(gè)液滴后振子的質(zhì)量為（M+nm），以n個(gè)液滴落入后到第（n+1）個(gè)液滴落入前，這段時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T_n=2π，容器落入n個(gè)液滴到（n+1）個(gè)液滴的時(shí)間間隔△t=T_n /2，所以
△t =π
小題2:(2)將容器從初始位置釋放后，振子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量不斷變化，動(dòng)量變化的原因是水平方向上彈簧彈力的沖量引起的，將容器從靜止釋放至位置O的過程中，容器的動(dòng)量從零增至p，因容器位于Ｏ點(diǎn)時(shí)彈簧為自然長度，液滴在O點(diǎn)處落入容器時(shí)，容器和落入的液滴系統(tǒng)在水平方向的合力為零， 根據(jù)動(dòng)量守恒定律，液滴在Ｏ處的落入并不改變系統(tǒng)水平方向的動(dòng)量，所以振子處從位置O到兩側(cè)相應(yīng)的最大位移處，或從兩側(cè)相應(yīng)在的最大位移處到位置Ｏ的各1/4周期內(nèi)，雖然周期Ｔ_n和對(duì)應(yīng)的最大位移L_n在不斷變化，但動(dòng)量變化的大小均為△p=p－0=p，根據(jù)動(dòng)量定理可知識(shí)，各1/4周期內(nèi)彈力的沖量大小均相等，即：
F₀(t)·T₀/4 = F_n(t)·T_n/4
其中T₀是從開始釋放到第一次到O點(diǎn)的周期，Ｔ₀=2π。T_n是n個(gè)液滴落入后到（n+1）個(gè)液滴落入容器前振子的周期，T_n=2π。而F₀(t) 和F_n(t)分別為第一個(gè)1/4周期內(nèi)和n個(gè)液滴落入后的1/4周期內(nèi)彈力對(duì)時(shí)間的平均值，由于在各個(gè)1/4周期內(nèi)振子均做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，因而彈力隨時(shí)間均按正弦（或余弦）規(guī)律變化，隨時(shí)間按正弦（或余弦）變化的量在1/4周期內(nèi)對(duì)時(shí)間的平均值與最大值之間的關(guān)系，可用等效方法求出，矩形線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，從中性而開始計(jì)地，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為ε=ε_msinωt=　NbωSsinωt。ε按正弦規(guī)律變化，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律ε=N，ε在1/4周期內(nèi)對(duì)時(shí)間的平均值ε=2ε_m/π。這一結(jié)論對(duì)其它正弦（或余弦）變化的量對(duì)時(shí)間的平均值同樣適用，則有
F₀(t)=2kL₀/π，F(xiàn)_n(t)=2kL_n/π
代入前式解得：L_n=L₀