Question

4．如圖所示，四分之一光滑絕緣圓弧軌道AP和水平絕緣傳送帶PC固定在同一豎直平面內(nèi)，圓弧軌道的圓心為O，半徑為R．傳送帶PC之間的距離為L．沿逆時針方向的傳動速度v=$\sqrt{gR}$，在PO的右側(cè)空間存在方向豎直向下的勻強(qiáng)電場．一質(zhì)量為m、電荷量為+q的小物體從圓弧頂點A由靜止開始沿軌道下滑，恰好運動到C端后返回．物體與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為μ，不計物體經(jīng)過軌道與傳送帶連接處P時的機(jī)械能損失．重力加速度為g．
（1）求物體滑到圓弧軌道末端時對P點的壓力大小？
（2）求物體第一次返回后能沿著圓弧軌道上升多高？
（3）求勻強(qiáng)電場場強(qiáng)大小及物體運動到C端過程中系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量是多少？

Answer 1

分析 （1）物體從A端運動到P端的過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，即可求出物體滑到P端時速度大小．經(jīng)過P點時，由重力和軌道支持力的合力提供物體的向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出軌道對物體的支持力，再由牛頓第三定律得到物體對軌道的壓力F．
（2）物體從C端返回時受到向左滑動摩擦力，向左做初速度為零的勻加速運動，根據(jù)動能定理列出滑塊速度與皮帶速度相同時通過的距離x表達(dá)式，再研究滑塊從P到C過程，由動能定理列式，聯(lián)立求出x，從而確定出滑塊返回到P端時的速度，再由機(jī)械能守恒定律研究滑塊滑上圓弧軌道的過程，求解最大高度H．
（3）根據(jù)動能定理求的場強(qiáng)，通過運動學(xué)公式求的相對位移，利用Q=μmgx求的產(chǎn)生的熱量

解答 解：（1）設(shè)物體滑到P端時速度大小為v_P，物體從A端運動到P端的過程中，機(jī)械能守恒得：
   mgR=$\frac{1}{2}$${mv}_{P}^{2}$
解得：v_P=$\sqrt{2gR}$
設(shè)物體滑到P端時受支持力為N，根據(jù)牛頓第二定律得：
   N-mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$
解得：N=3mg；
設(shè)物體滑到P端時對軌道壓力為F，根據(jù)牛頓第三定律得：F=N=3mg；
（2）物體從C端向左運動時受到向左的滑動摩擦力，先向左做初速度為零的勻加速運動，設(shè)向左運動距離為x時物體與皮帶速度相同，物體受到的摩擦力為f，則
根據(jù)動能定理得：
   fx=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$ ①
由v=$\sqrt{gR}$，得 fx=$\frac{1}{2}mgR$ ②
物體從皮帶的P端滑到C端摩擦力做功，由動能定理得：
-fL=0-$\frac{1}{2}{mv}_{P}^{2}$ ③
將v_P=$\sqrt{2gR}$代入得，fL=$\frac{1}{2}m•$2gR ④
由②④解得：x=$\frac{1}{2}L$ ⑤
即物體在皮帶上向左先做勻加速運動一半皮帶長度后，與皮帶同速向左運動，即再次到達(dá)P點時速度大小是v=$\sqrt{gR}$
對于滑塊沿軌道上滑的過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
  mgH=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$ ⑥
解得：H=$\frac{R}{2}$ ⑦
（3）設(shè)電場強(qiáng)度為E，在無磁場物體從A端運動到C端的過程中，根據(jù)動能定理由
mgR-μ（mg+qE）L=0-0
解得E=$\frac{mg（R-μL）}{μqL}$
物體第一次在傳送帶上向右運動到C端的過程中
$t=\frac{L}{\frac{{v}_{p}}{2}}=\sqrt{\frac{2}{gR}}L$
傳送帶的位移為x=vt=$\sqrt{2}L$
產(chǎn)生的熱量$Q=μ（qE+mg）（x+L）=（\sqrt{2}+1）mgR$
答：（1）物體滑到圓弧軌道末端時對P點的壓力大小為3mg
（2）物體第一次返回后能沿著圓弧軌道上升高度為$\frac{R}{2}$
（3）勻強(qiáng)電場場強(qiáng)大小為$\frac{mg（R-μL）}{μqL}$及物體運動到C端過程中系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量是$（\sqrt{2}+1）mgR$

點評 本題的解題關(guān)鍵是分析滑塊的運動過程，根據(jù)力學(xué)規(guī)律進(jìn)行研究．第3小題要根據(jù)運動要求，判斷出滑塊的受力情況，再由平衡條件求解．