Question

勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，一端連接質(zhì)量為2m的物塊P（可視為質(zhì)點(diǎn)），另一端懸掛在天花板上．靜止時(shí)，P位于O點(diǎn)，此時(shí)給P一個(gè)豎直向下的速度v₀，讓P在豎直方向上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，測(cè)得其振幅為A．當(dāng)P某次經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)突然斷裂成質(zhì)量均為m的兩個(gè)小物塊B和C，其中B仍與彈簧連接并做新的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，而C自由下落，求：
（1）B所做的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅．
（2）B做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)速率．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)胡克定律求出P在O點(diǎn)時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量，得到B在最低點(diǎn)時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量，再由胡克定律求出B的合力為零時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量，則B點(diǎn)到平衡位置的距離即為振幅．
（2）根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒可求出P到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能增加量，當(dāng)B從最低到O點(diǎn)的過(guò)程中，彈簧的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為B的重力勢(shì)能和動(dòng)能，再由機(jī)械能守恒求出B做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)速率．

解答：解：（1）P在O點(diǎn)時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)量△x=

2mg

k

B在最低點(diǎn)時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量△x₁=A+△x
B的合力為零時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量△x₂=

mg

k

所以B做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅A₁=△x₁-△x₂=A+

mg

k

（2）由能量守恒可知，P從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過(guò)程中有：
2mgA+

1

2

×2m

v

2 0

=E_P（E_P為彈簧彈性勢(shì)能增加量）
同理可知，B從最低點(diǎn)回到O點(diǎn)的過(guò)程中有：
E_P=mgA+

1

2

mv2
解得：物塊B經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)的速率v=

2gA+2 v 2 0

答：（1）B所做的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為A+

mg

k

．
（2）B做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)速率為

2gA+2 v 2 0

．

點(diǎn)評(píng)：本題根據(jù)振幅的定義：振子到平衡位置的最大距離，求解振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，可研究振子的速度．