Question

8．質量M=10kg的木板A沿水平面向右運動，與水平面之間的動摩擦因數(shù)等于μ₁=0.1，當木板A的速度v₀=5m/s時，在A的左端施加一個恒力F=35N，如圖所示，同時在木板上面無初速度放上一個質量m=5kg的滑塊B．已知滑塊B右端的木板上表面粗糙，長度為12.5m，與滑塊之間動摩擦因數(shù)μ₂=0.2，滑塊左端的木板上表面包括滑塊所放的位置為光滑，長度為2.5m．

（1）至少經過多長時間滑塊和木板的速度相等．
（2）共經過多長時間滑塊與木板分開？

Answer 1

分析 （1）對長木板受力分析，根據牛頓第二定律求出加速度，然后計算出長木板向右減速為0時運動的距離，再與L相比較，判斷滑塊能否從長木板的左端滑下；再計算后來長木板向左運動到二者速度相等的時間，求和即可．
（2）滑塊從放到長木板上開始至離開長木板所用的時間就是這兩個時間之和；

解答 解：（1）滑塊剛剛放到長木板時，木板相對于滑塊向右運動，受到的合力為0，故相對地面靜止，對長木板受力分析，根據牛頓第二定律得
長木板的加速度${a}_{1}=\frac{F+{μ}_{1}（M+m）g}{M}=\frac{35+0.1×（10+5）×10}{10}=5$m/s²
長木板向右減速為0運動的距離${x}_{1}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{{5}^{2}}{2×5}=2.5m$
該位移恰好等于木板左側的長度，所以滑塊沒有掉落；
長木板向右運動的時間${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}=1s$
長木板向左運動的加速度${a}_{2}=\frac{F-{μ}_{1}（M+m）g}{M}=\frac{35-0.1×（10+5）×10}{10}=2m/{s}^{2}$
長木板向左的位移等于2.5m的時間：$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}=2.5$
代入數(shù)據得：${t}_{2}=\sqrt{2.5}$s≈1.58s
此時木塊的速度：${v}_{1}={a}_{2}{t}_{2}=2\sqrt{2.5}$m/s≈1.58m/s
之后滑塊相對于長木板向右運動，二者之間的摩擦力：f=μ₂mg=0.2×5×10=10N
滑塊向左的加速度：${a}_{3}=\frac{f}{m}=\frac{10}{5}=2m/{s}^{2}$
木板的加速度：${a}_{4}=\frac{F-{μ}_{1}（M+m）g-f}{M}=\frac{35-0.1×（10+5）×10-10}{10}=1m/{s}^{2}$
再經過時間t₃速度相等，得：v₁+a₄t₃=a₃t₃
聯(lián)立得：t₃=1.58s
所以滑塊和木板的速度相等的時間：t=t₁+t₂+t₃=1+1.58+1.58=4.16s
（2）滑塊加速t₃時間內滑塊與木板之間的相對位移：△x=${v}_{1}{t}_{3}+\frac{1}{2}{a}_{4}{t}_{3}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{3}^{3}$
代入數(shù)據得：△x=1.2482m＜12.5m
結合（1）的分析可知，二者的速度相同后，滑塊的加速度不可能再大于木板的加速度，則二者一起做加速運動，不可能再分離．
答：（1）經過4.16s時間滑塊和木板的速度相等．
（2）滑塊不可能與木板分開．

點評 可以用極端假設法判斷小鐵塊能否從長木板的左端滑下，第（2）問注意對長木板的運動情況分段討論，計算出小鐵塊從放到長木板上開始至離幵長木板所用的時間．