Question

蕩秋千是一項古老的運動，秋千是一塊板用兩根繩系在兩個固定的懸點組成，設(shè)某人的質(zhì)量為m，身高為H，站立時重心離腳底H/2，蹲下時重心離腳底H/4，繩子懸掛點到踏板的繩長為6H，繩子足夠柔軟且不可伸長，繩子和踏板的質(zhì)量不計，人身體始終與繩子保持平行，重力加速度為g。
小題1:若該人在踏板上保持站式，由伙伴將其推至擺角θ₀（單位：rad），由靜止釋放，忽略空氣阻力，求擺至最低點時每根繩的拉力大��；
小題2:若該人在踏板上保持站式，由伙伴將其推至擺角θ₁（單位：rad），由靜止釋放，擺至另一側(cè)最大擺角為θ₂（單位：rad），設(shè)空氣阻力大小恒定，作用點距離腳底為H/3，求空氣阻力的大小。
小題3:若該人在踏板上采取如下步驟：當(dāng)蕩至最高處時，突然由蹲式迅速站起，而后緩緩蹲下，擺至另一側(cè)最高處時已是蹲式，在該處又迅速站起，之后不斷往復(fù)，可以蕩起很高。用此法可以蕩起的最大擺角為θm 弧度，假設(shè)人的“緩緩蹲下”這個動作不會導(dǎo)致系統(tǒng)機(jī)械能的損耗，而且空氣阻力大小和作用點與第（2）問相同，試證明：。

Answer 1

小題1:
小題2:
小題3:見解析

（1）設(shè)蕩至最低點時速度為v，則由機(jī)械能守恒定律有 設(shè)拉力為F，則由牛頓第二定律              
求得         
每根繩的拉力              
（2）全程損耗的機(jī)械能為                空氣阻力做的功為                       
由功能關(guān)系有                                 
求得                         
（3）在一個周期內(nèi)，通過“迅速站起”獲得的機(jī)械能（重力勢能）是

空氣阻力做的功是                          
由功能關(guān)系有                                    
求得       ，得證。