Question

17．己知地球和火星的半徑分別為r_l、r₂，繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)軌道可視為圓，軌道半徑分別為r₁′、r₂′，公轉(zhuǎn)線速度分別為v_l′、v₂′，地球和火星表面重力加速度分別為g₁、g₂，平均密度分別為ρ₁、ρ₂．地球第一宇宙速度為v₁，飛船貼近火星表面環(huán)繞線速度為v₂，則下列關(guān)系正確的是（　�。�

• A． $\frac{{{{v'}_1}}}{{{{v'}_2}}}=\sqrt{\frac{{{{r'}_2}}}{{{{r'}_1}}}}$
• B． $\frac{v_1}{v_2}=\sqrt{\frac{r_2}{r_1}}$
• C． ρ₁r₁²v₂²=ρ₂r₂²v₁²
• D． g₁r₁²=g₂r₂²

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$去求地球和火星公轉(zhuǎn)的線速度之比，以及近地衛(wèi)星的速度之比．根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力求星球表面重力加速度之比，結(jié)合密度公式研究．

解答 解：A、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：G$\frac{Mm}{r{′}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r′}$，得v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，r′是行星公轉(zhuǎn)半徑，地球和火星的公轉(zhuǎn)半徑之比為r₁′：r₂′，所以公轉(zhuǎn)線速度之比$\frac{v{′}_{1}}{v{′}_{2}}$=$\sqrt{\frac{r{′}_{2}}{r{′}_{1}}}$，故A正確；
B、與行星公轉(zhuǎn)相似，對(duì)于衛(wèi)星，線速度表達(dá)式也為v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$由于不知道地球和火星的質(zhì)量之比，所以無(wú)法求出$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$，故B錯(cuò)誤．
C、衛(wèi)星貼近表面運(yùn)行時(shí)，有 G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，得：M=$\frac{r{v}^{2}}{G}$
行星的密度為：ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{r}^{3}}$=$\frac{{3v}^{2}}{4πG{r}^{2}}$（其中T為星球表面衛(wèi)星運(yùn)行的周期，r為星球半徑），故$\frac{ρ{r}^{2}}{{v}^{2}}$=$\frac{3}{4πG}$為定值，故ρ₁r₁²v₂²=ρ₂r₂²v₁²，故C正確．
D、在行星表面，由重力等于萬(wàn)有引力，有 G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mg，r是行星的半徑，得：g=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，則有 GM=gr²，由于地球與火星的質(zhì)量不等，則g₁r₁²≠g₂r₂²．故D錯(cuò)誤．
故選：AC

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵搞清楚公轉(zhuǎn)、第一宇宙速度等問(wèn)題中，誰(shuí)是中心天體，誰(shuí)是環(huán)繞天體，然后根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，萬(wàn)有引力等于重力進(jìn)行求解．