Question

13．若宇航員在某星球表面附近自高h(yuǎn)處以初速度v₀水平拋出一個小球，使其做平拋運(yùn)動，測出小球的水平射程為L．已知該星球半徑為R，萬有引力常量為G．不考慮該星球的自轉(zhuǎn)．求：
（1）該星球球的質(zhì)量M；
（2）該星球球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）宇航員在星球上自高h(yuǎn)處以初速度v₀水平拋出一物體，測出物體的水平射程為L，根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律求解星球表面的重力加速度，根據(jù)星球表面重力等于萬有引力列出等式求解星球的質(zhì)量；
（2）根據(jù)重力提供向心力求出第一宇宙速度；

解答 解：（1）根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律，
水平方向：L=v₀t，
豎直方向：h=$\frac{1}{2}$gt²，
聯(lián)立解得g=$\frac{2{hv}_{0}^{2}}{{L}^{2}}$
根據(jù)星球表面重力等于萬有引力，有：
mg=G$\frac{mM}{{R}^{2}}$
解得：M=$\frac{{{2hR}^{2}v}_{0}^{2}}{{GL}^{2}}$
（2）根據(jù)重力提供向心力，由mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\frac{{v}_{0}}{L}$$\sqrt{2hR}$ 
答：（1）星球球的質(zhì)量M是$\frac{{{2hR}^{2}v}_{0}^{2}}{{GL}^{2}}$；
（2）星球球的第一宇宙速度是$\frac{{v}_{0}}{L}$$\sqrt{2hR}$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵知道平拋運(yùn)動在水平方向上和豎直方向上的運(yùn)動規(guī)律，以及掌握萬有引力提供向心力以及萬有引力等于重力這兩個理論的運(yùn)用