Question

3．如圖所示，在以O(shè)₁點(diǎn)為圓心、r=0.20m為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)，存在著方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=1.0×10^-3的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫(huà)出）．圓的左端跟y軸相切于直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O，右端與一個(gè)足夠大的熒光屏MN相切于x軸上的A點(diǎn)，粒子源中，有帶正電的粒子（比荷為$\frac{q}{m}$=1.0×10¹⁰C/kg）不斷地由靜止進(jìn)入電壓U=800V的加速電場(chǎng)．經(jīng)加速后，沿x軸正方向從坐標(biāo)原點(diǎn)O射入磁場(chǎng)區(qū)域，粒子重力不計(jì)．
（1）求粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑、速度偏離原來(lái)方向的夾角的正切值．
（2）以過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O并垂直于紙面的直線為軸，將該圓形磁場(chǎng)逆時(shí)針緩慢旋轉(zhuǎn)90°，求在此過(guò)程中打在熒光屏MN上的粒子到A點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離．

Answer 1

分析 （1）粒子從靜止開(kāi)始進(jìn)入加速電場(chǎng)，由動(dòng)能定理求出速度，在圓形磁場(chǎng)中洛侖茲力提供向心力，從而能求出粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．
（2）以過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O并垂直于紙面的直線為軸，將該圓形磁場(chǎng)逆時(shí)針緩慢旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，而粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡不變，所以只要以O(shè)為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，軌跡與該弧的交點(diǎn)就是打在屏上最遠(yuǎn)的出射點(diǎn)，由幾何關(guān)系可以求出最遠(yuǎn)點(diǎn)離O點(diǎn)的距離．

解答 解：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理得$qU=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
進(jìn)入磁場(chǎng)后做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力$qvB=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得$R=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$=0.4m
設(shè)速度偏離原來(lái)方向的夾角為θ，由幾何關(guān)系得tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{r}{R}$=$\frac{1}{2}$
故速度偏離原來(lái)方向的夾角正切值tanθ=$\frac{4}{3}$
（2）以O(shè)點(diǎn)為圓心，OA為半徑做圓弧AC交y軸于C點(diǎn)；以C點(diǎn)為圓心，CO為半徑作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡交弧AC于D點(diǎn)．
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最大圓弧弦長(zhǎng)OD=2r=0.4 m，
由幾何關(guān)系可知sin$\frac{α}{2}=\frac{r}{R}$
最遠(yuǎn)距離  y_m=（2r-Rtan α）tan 2α（
代入數(shù)據(jù)可得${y}_{m}=\frac{2（\sqrt{3}-1）}{5}m$=0.29m
答：（1）求粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑、速度偏離原來(lái)方向的夾角的正切值為$\frac{4}{3}$．
（2）以過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O并垂直于紙面的直線為軸，將該圓形磁場(chǎng)逆時(shí)針緩慢旋轉(zhuǎn)90°，在此過(guò)程中打在熒光屏MN上的粒子到A點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為0.29m．

點(diǎn)評(píng) 本題的靚點(diǎn)是第二問(wèn)，當(dāng)圓形磁場(chǎng)區(qū)域轉(zhuǎn)動(dòng)90°時(shí)，粒子還是在該磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，軌跡不變，只是軌跡的長(zhǎng)短不一樣，顯然只有軌跡對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)為直徑時(shí)，偏轉(zhuǎn)角最大，打在屏上的點(diǎn)離A最遠(yuǎn)．畫(huà)出軌跡，由幾何關(guān)系就能求出離A點(diǎn)最遠(yuǎn)的距離．