Question

4．如圖所示，離地面足夠高處有一豎直空管，管長為l=0.2m，M、N為空管的上、下兩端，以恒定的速度向下做勻速直線運(yùn)動，同時(shí)在空管N點(diǎn)下端距離d=0.25m有一小球開始做自由落體運(yùn)動，取g=10m/s，求：
（1）若經(jīng)過t₁=0.2s，小球與N點(diǎn)等高，求空管的速度大小v₀；
（2）若經(jīng)過t₂=0.5s，小球在空管內(nèi)部，求空管的速度大小v₀應(yīng)滿足什么條件；
（3）為了使小球在空管內(nèi)部運(yùn)動的時(shí)間最長，求v₀的大小，并求出這個(gè)最長時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）小球做自由落體運(yùn)動，而管做勻速運(yùn)動，由位移公式與位置關(guān)系即可求出；
（2）小球做自由落體運(yùn)動，管做勻速運(yùn)動，由位移公式與位置關(guān)系，結(jié)合兩個(gè)臨界條件即可求出．
（3）求出空管落地的時(shí)間，小球要落入空管內(nèi)，判斷出小球在空管落地的時(shí)間內(nèi)的位移必須滿足的條件，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動的位移時(shí)間公式求出小球的初速度范圍．

解答 解：（1）當(dāng)球與N點(diǎn)等高時(shí)，則：${v}_{0}{t}_{1}-\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}=d$   
得：v₀=2.25m/s
（2）若v₀最小時(shí)，球恰好運(yùn)動到與N點(diǎn)等高，則：${v}_{0}{t}_{2}-\frac{1}{2}g{t}_{2}^{2}=d$
得：v₀=3m/s 
若v₀最大時(shí)，球恰好運(yùn)動到與M點(diǎn)等高，則：
${v}_{0}{t}_{3}-\frac{1}{2}g{t}_{3}^{2}=d+l$
  得：v₀=3.4m/s 
故：3m/s≤v₀≤3.4m/s     
（3）當(dāng)時(shí)間最長時(shí)，球運(yùn)動到M處恰好與管共速，則：
v₀=gt₄    
${v}_{0}{t}_{4}-\frac{1}{2}g{t}_{4}^{2}=d+l$  
解得：v₀=3m/s   
小球與N點(diǎn)等高時(shí)，則：${v}_{0}{t}_{5}-\frac{1}{2}g{t}_{5}^{2}=d$ 
解得：t=0.1或t=0.5
則：t_m=△t=0.5-0.1=0.4s 
答：（1）若經(jīng)過t₁=0.2s，小球與N點(diǎn)等高，空管的速度大小是2.25m/s；
（2）若經(jīng)過t₂=0.5s，小球在空管內(nèi)部，空管的速度大小v₀應(yīng)滿足條件3m/s≤v₀≤3.4m/s；
（3）為了使小球在空管內(nèi)部運(yùn)動的時(shí)間最長，v₀的大小是3m/s，這個(gè)最長時(shí)間是0.4s．

點(diǎn)評 本題考查了勻變速直線運(yùn)動的規(guī)律，關(guān)鍵理清空管和小球的運(yùn)動情況，抓住相等的量，運(yùn)用運(yùn)動學(xué)公式靈活求解．