Question

如圖所示是某公園中的一項(xiàng)游樂(lè)設(shè)施，半徑為R=2.5m、r=1.5m的兩圓形軌道甲和乙安裝在同一豎直平面內(nèi)，兩軌道之間由一條水平軌道CD相連，現(xiàn)讓可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為10kg的無(wú)動(dòng)力小滑車從A點(diǎn)由靜止釋放，剛好可以滑過(guò)甲軌道后經(jīng)過(guò)CD段又滑上乙軌道后離開兩圓形軌道，然后從水平軌道飛入水池內(nèi)，水面離水平軌道的高度h=5m，所有軌道均光滑，g=10m/s²．
（1）求小球到甲軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度v．
（2）求小球到乙軌道最高點(diǎn)時(shí)對(duì)乙軌道的壓力．
（3）若在水池中MN范圍放上安全氣墊（氣墊厚度不計(jì)），水面上的B點(diǎn)在水平軌道邊緣正下方，且BM=10m，BN=15m；要使小滑車能通過(guò)圓形軌道并安全到達(dá)氣墊上，則小滑車起始點(diǎn)A距水平軌道的高度該如何設(shè)計(jì)？

Answer 1

分析：（1）小車在C軌道最高點(diǎn)對(duì)軌道恰好無(wú)壓力，根據(jù)重力恰好等于向心力列式求解；
（2）對(duì)從C軌道最高點(diǎn)到D軌道最高點(diǎn)過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解D軌道最高點(diǎn)速度，再根據(jù)在D軌道最高點(diǎn)時(shí)重力和彈力的合力提供向心力列式求解彈力大小；
（3）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式列式求出平拋運(yùn)動(dòng)的初速度，再對(duì)從開始到平拋起點(diǎn)的過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解．

解答：解：（1）在C軌道最高點(diǎn)：mg=m

v2

R

解得：v=5m/s
即小車通過(guò)C軌道最高點(diǎn)的速度為5m/s；
（2）從C軌道最高點(diǎn)到D軌道最高點(diǎn)過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
mg（2R-2r）=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

m

v

2

在D軌道最高點(diǎn)：
mg-N=m

v 2 D

r

解得：N=333.3N
由牛頓第三定律知，小車對(duì)軌道的壓力為333.3N；
（3）小滑車要安全通過(guò)圓形軌道，在平臺(tái)上的速度至少為v₀，從釋放到平拋初位置過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
mgH=

1

2

m

v

2 0

           ①
從開始釋放到C軌道最高點(diǎn)過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理，有
mg（H-2R）=

1

2

mv

2 C

′②
要能通過(guò)圓軌道，有
v_C′＞5m/s         ③
對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)，有：
h=

1

2

gt2            ④
S=v₀t             ⑤
由①②③④⑤解得
H=7.2m
答：（1）小球到甲軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度為5m/s．
（2）小球到乙軌道最高點(diǎn)時(shí)對(duì)乙軌道的壓力為333.3N．
（3）小滑車至少應(yīng)從離水平軌道7.2m的地方開始下滑．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵要分析清楚小車的運(yùn)動(dòng)情況，然后根據(jù)向心力公式、牛頓第二定律、平拋運(yùn)動(dòng)分位移公式、動(dòng)能定理列式求解；切入點(diǎn)在于小球恰好通過(guò)C點(diǎn)．