Question

（2013?湖南模擬）如圖所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在0≤x≤（2+

3

）L且以直線PQ為下邊界的區(qū)域內(nèi)，∠OPQ=30°．y≤0的區(qū)域內(nèi)存在著沿y軸正向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子（不計(jì)粒子重力）從電場(chǎng)中一點(diǎn)M（-2L，-

3

L）以初速度v_o沿x軸正向射出后，恰好經(jīng)坐標(biāo)原點(diǎn)O進(jìn)入第I象限，最后剛好不能從磁場(chǎng)的右邊界飛出．求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B；
（3）粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）粒子垂直于電場(chǎng)進(jìn)入第一象限，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，由到達(dá)N的速度方向可利用速度的合成與分解得知此時(shí)的速度，根據(jù)牛頓第二定律可求出加速度與速度及位移關(guān)系，從而求出電場(chǎng)強(qiáng)度；
（2）應(yīng)用動(dòng)能定理即可求得電場(chǎng)中粒子的速度，粒子以此速度進(jìn)入第四象限，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，先畫(huà)出軌跡圖，找出半徑；利用洛倫茲力提供向心力的公式，可求出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑．
（3）利用圓心與弦切角的關(guān)系計(jì)算出粒子所轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角θ的大小，用公式

t

T

=

θ

360°

可求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答：解：粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如右圖所示
（1）設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁
x方向勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有：2L=v₀t₁
y方向初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則有：

3

L=

1

2

a

t

2 1

根據(jù)牛頓第二定律：Eq=ma     
求出勻強(qiáng)電場(chǎng)強(qiáng)度：E=

3 m v 2 0

2qL

（2）y方向的速度：vy=at1=

3

v0
合速度的大�。�v=

v 2 0 + v 2 y

=2v0
合速度與y軸的夾角：tanθ=

vy

v0

=

3 v0

v0

=

3

，所以θ=60°所以粒子進(jìn)入磁場(chǎng)，剛好不能從磁場(chǎng)的右邊界飛出，運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，
由幾何關(guān)系得：R-Rcos30°=

1

2

(2+

3

)L，解得：R=(2+

3

)2L
帶電粒子的洛倫茲力提供向心力．得：qvB=

mv2

R

聯(lián)立方程解得：B=

2mv0

(2+ 3 )2qL

（3）由圖中的幾何關(guān)系可得：cosα=

R-(2+ 3 )L

R

=

5+2 3

7+4 3

，α=arccos

5+2 3

7+4 3

設(shè)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則：

t

T

=

30°+α

2π

又：T=

2πR

v

=

π(2+ 3 )2L

v0

所以：t=

30°+arccos 5+2 3 7+4 3

2π

?

π(2+ 3 )2L

v0

=

30°+arccos 5+2 3 7+4 3

2v0

?(2+

3

)2L
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E=

3 m v 2 0

2qL

；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=

2mv0

(2+ 3 )2qL

；
（3）粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=

30°+arccos 5+2 3 7+4 3

2v0

?(2+

3

)2L．

點(diǎn)評(píng)：該題考查了電場(chǎng)和磁場(chǎng)邊界問(wèn)題，不同場(chǎng)的分界面上，既是一種運(yùn)動(dòng)的結(jié)束，又是另一種運(yùn)動(dòng)的開(kāi)始，尋找相關(guān)物理量尤其重要．
粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)偏轉(zhuǎn)時(shí)，常用能量的觀點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題，有時(shí)也要運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解．
點(diǎn)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑及運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定也是本題的一個(gè)考查重點(diǎn)
圓心的確定：因洛倫茲力提供向心力，洛倫茲力總垂直于速度，畫(huà)出帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡中任意兩點(diǎn)（一般是射入磁場(chǎng)和射出磁場(chǎng)的兩點(diǎn)）洛倫茲力的方向，其延長(zhǎng)的交點(diǎn)即為圓心．或射入磁場(chǎng)和射出磁場(chǎng)的兩點(diǎn)間弦的垂直平分線與一半徑的交點(diǎn)即為圓心．
半徑的確定：半徑一般都在確定圓心的基礎(chǔ)上用平面幾何知識(shí)求解，常常是解直角三角形．
運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定：利用圓心與弦切角的關(guān)系計(jì)算出粒子所轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角θ的大小，用公式

t

T

=

θ

360°

可求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
再者就是要正確畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，能熟練的運(yùn)用幾何知識(shí)解決物理問(wèn)題．