Question

如圖所示，矩形區(qū)域MNPQ內有水平向右的勻強電場，虛線框外為真空區(qū)域；半徑為R、內壁光滑、內徑很小的絕緣半圓管ADB固定在豎直平面內，直徑AB垂直于水平虛線MN，圓心O恰在MN的中點，半圓管的一半處于電場中．一質量為m，可視為質點的帶正電電荷量為q的小球從半圓管的A點由靜止開始滑入管內，小球從B點穿出后，能夠通過B點正下方的C點．重力加速度為g，小球在C點處的加速度大小為5g/3．求：
（1）勻強電場場強E；
（2）小球在B點時，半圓軌道對它作用力的大��；
（3）要使小球能夠到達B點正下方C點，虛線框MNPQ的高度和寬度滿足什么條件；
（4）小球從B點計時運動到C點過程中，經多長時間小球的動能最�。�

Answer 1

分析：（1）由題，小球在C點處的加速度大小為

5

3

g，根據(jù)牛頓第二定律求解電場強度．
（2）研究小球從A→B過程，根據(jù)動能定理求出小球經過B點時的速度大小，小球到達B點時由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解軌道對它的作用力的大�。�
（3）小球從B→C過程采用運動的分解法研究：水平方向做勻減速直線運動，豎直方向做自由落體運動．根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式求出小球水平向左運動的最大距離和豎直方向運動的距離，由幾何關系確定虛線框MNPQ的高度和寬度滿足什么條件．
（4）當F與mg的合力與v垂直時，小球的動能最小，寫出公式，代入數(shù)據(jù)即可．

解答：解：（1）由于小球在C處受到重力和電場力的共同作用，所以：
C點：F合=ma=

(qE)2+m2g2

代入數(shù)據(jù)得：E=

4mg

3q

       
（2）A→B的過程重力和電場力對小球做功，mg?(2R)-FR=

1

2

mvB2
    得：vB=

4gR 3

在B點N-mg=

mvB2

R

   半圓軌道對小球的作用力 N=

7

3

mg
（3）小球從B→C   水平方向勻減速運動，豎直方向自由落體運動
ax=

4

3

ga_y=g
設向左減速時間為tt=

vB

ax

=

3R 4g

    x=

1

2

vBt=

R

2

    y=

1

2

g(2t)2=

3R

2

寬度應滿足條件L＞2R，
高度滿足條件H≥

5

2

R
（4）當F與mg的合力與v垂直時，小球的動能最小，設經過的時間為t∴vy=

4

3

vxv_y=gtvx=vB-

4

3

gt
∴t=

8

25

3R g

答：（1）勻強電場場強E=

4mg

3q

；
（2）小球在B點時，半圓軌道對它作用力的大小N=

7

3

mg；
（3）要使小球能夠到達B點正下方C點，虛線框MNPQ的高度和寬度滿足H≥

5

2

R；
（4）小球從B點計時運動到C點過程中，經t=

8

25

3R g

時間小球的動能最�。�

點評：本題采用程序法進行處理，難點是小球從B→C過程，由于小球受的是恒力，采用分解法研究．