Question

20．如圖，光滑半圓形管道BCD與水平軌道AB相切于B點，D為管道最高點，管道的半徑可以進行調節(jié)，管道內徑遠小于其半徑．水平軌道AB長為x，E為AB中點，質量為m的小球（小球半徑略小于管道內徑）靜止于A點，球與水平軌道動摩擦因數(shù)為0.4，現(xiàn)用大小為F=2mg，方向水平向左的恒力作用在小球上，使小球從靜止開始運動，當小球經過E點時將F撤去．
（1）要使小球能到達D點，則管道BCD半徑最大為多少？
（2）當管道BCD半徑為多大時，小球從D點做平拋運動的水平位移最大？

Answer 1

分析 （1）當管半徑最大時，小球恰好能到達D點，此時小球的速度恰好為零，由動能定理求管道BCD的最大半徑．
（2）小球從A點運動到D點，由動能定理列式．由平拋規(guī)律得到小球從D點做平拋運動的水平位移表達式，再由數(shù)學知識求解．

解答 解：（1）當管半徑最大時，小球恰好能到達D點，此時小球的速度恰好為零，小球從A點運動到D點，由動能定理得：
$F×\frac{x}{2}-μmgx-mg×2{r_1}=0$
解得：管道BCD半徑最大為：r₁=0.3x
（2）設管道半徑為r時，小球運動到D點的速度為v₀，小球從A點運動到D點，由動能定理得：
$F×\frac{x}{2}-μmgx-mg×2r=\frac{1}{2}mv_0^2$
小球平拋運動時間為：$t=\sqrt{\frac{2×2r}{g}}$
水平位移：s=v₀t
由以上三式得：s=$\sqrt{-16{r^2}+4.8xr}$
所以當$r=-\frac{4.8x}{2×（-16）}=0.15x$時，水平位移s最大
答：（1）要使小球能到達D點，則管道BCD半徑最大為0.3x．
（2）當管道BCD半徑為0.15x時，小球從D點做平拋運動的水平位移最大．

點評 本題是動能定理、平拋運動與向心力知識綜合應用．要知道小球恰好通過最高點時速度為零，與桿子模型類似，運用函數(shù)法求極值．