Question

20．如圖，光滑半圓形管道BCD與水平軌道AB相切于B點(diǎn)，D為管道最高點(diǎn)，管道的半徑可以進(jìn)行調(diào)節(jié)，管道內(nèi)徑遠(yuǎn)小于其半徑．水平軌道AB長(zhǎng)為x，E為AB中點(diǎn)，質(zhì)量為m的小球（小球半徑略小于管道內(nèi)徑）靜止于A點(diǎn)，球與水平軌道動(dòng)摩擦因數(shù)為0.4，現(xiàn)用大小為F=2mg，方向水平向左的恒力作用在小球上，使小球從靜止開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球經(jīng)過E點(diǎn)時(shí)將F撤去．
（1）要使小球能到達(dá)D點(diǎn)，則管道BCD半徑最大為多少？
（2）當(dāng)管道BCD半徑為多大時(shí)，小球從D點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移最大？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)管半徑最大時(shí)，小球恰好能到達(dá)D點(diǎn)，此時(shí)小球的速度恰好為零，由動(dòng)能定理求管道BCD的最大半徑．
（2）小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，由動(dòng)能定理列式．由平拋規(guī)律得到小球從D點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移表達(dá)式，再由數(shù)學(xué)知識(shí)求解．

解答 解：（1）當(dāng)管半徑最大時(shí)，小球恰好能到達(dá)D點(diǎn)，此時(shí)小球的速度恰好為零，小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，由動(dòng)能定理得：
$F×\frac{x}{2}-μmgx-mg×2{r_1}=0$
解得：管道BCD半徑最大為：r₁=0.3x
（2）設(shè)管道半徑為r時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的速度為v₀，小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，由動(dòng)能定理得：
$F×\frac{x}{2}-μmgx-mg×2r=\frac{1}{2}mv_0^2$
小球平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：$t=\sqrt{\frac{2×2r}{g}}$
水平位移：s=v₀t
由以上三式得：s=$\sqrt{-16{r^2}+4.8xr}$
所以當(dāng)$r=-\frac{4.8x}{2×（-16）}=0.15x$時(shí)，水平位移s最大
答：（1）要使小球能到達(dá)D點(diǎn)，則管道BCD半徑最大為0.3x．
（2）當(dāng)管道BCD半徑為0.15x時(shí)，小球從D點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移最大．

點(diǎn)評(píng) 本題是動(dòng)能定理、平拋運(yùn)動(dòng)與向心力知識(shí)綜合應(yīng)用．要知道小球恰好通過最高點(diǎn)時(shí)速度為零，與桿子模型類似，運(yùn)用函數(shù)法求極值．