Question

【題目】如圖甲所示，兩平行金屬板接有如圖乙所示隨時(shí)間t變化的電壓U，兩板間電場(chǎng)可看作均勻的，且兩板外無電場(chǎng)，板長(zhǎng)L=0.2m，板間距離d=0.2m．在金屬板右側(cè)有一邊界為MN的區(qū)域足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN與兩板中線OO′垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=5×10﹣3T，方向垂直紙面向里．現(xiàn)有帶正電的粒子流沿兩板中線OO′連續(xù)射入電場(chǎng)中，已知每個(gè)粒子速度v0=105 m/s，比荷q/m=108 C/kg，重力忽略不計(jì)，在每個(gè)粒子通過電場(chǎng)區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)，電場(chǎng)可視作是恒定不變的．

（1）試求帶電粒子射出電場(chǎng)時(shí)的最大速度；
（2）證明：在任意時(shí)刻從電場(chǎng)射出的帶電粒子，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)在MN上的入射點(diǎn)和在MN上出射點(diǎn)的距離為定值，寫出該距離的表達(dá)式；
（3）從電場(chǎng)射出的帶電粒子，進(jìn)入磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后又射出磁場(chǎng)，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間和最短時(shí)間．

Answer 1

【答案】
（1）解：偏轉(zhuǎn)電壓由0到200V的變化中，粒子流可能都能射出電場(chǎng)，也可能只有部分粒子能射出電場(chǎng)．

設(shè)偏轉(zhuǎn)的電壓為U0時(shí)，粒子剛好能經(jīng)過極板的右邊緣射出．

粒子的加速度：

粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的時(shí)間：

聯(lián)立以上三式解得：

得U1=100V．

知偏轉(zhuǎn)電壓為100V時(shí)，粒子恰好能射出電場(chǎng)，且速度最大．

根據(jù)動(dòng)能定理得，

代入數(shù)據(jù)解得： m/s．

方向：斜向右上方或斜向右下方，與初速度方向成45°夾角．

答：帶電粒子射出電場(chǎng)時(shí)的最大速度為1.41×105m/s．

（2）解：設(shè)粒子射出電場(chǎng)速度方向與MN間夾角為θ．粒子射出電場(chǎng)時(shí)速度大小為：

又有洛倫茲力提供向心力：qvB=m

解得 ．

因此粒子射進(jìn)磁場(chǎng)點(diǎn)與射出磁場(chǎng)點(diǎn)間距離為：

s=2Rsinθ= m．

由此可看出，距離s與粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行速度的大小無關(guān)，s為定值．

答：證明略，距離為0.4m；

（3）解：由（1）中結(jié)論可知，若粒子射出磁場(chǎng)的豎直分速度越大，則θ越小，故θ最小值為θm=45°，

此情景下圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為270°，入射粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行最長(zhǎng)時(shí)間為：

s

當(dāng)粒子從上板邊緣飛出電場(chǎng)在進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短：

s．

答：粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為3π×10﹣6s和最短時(shí)間為π×10﹣6s．

【解析】（1）當(dāng)粒子從極板的右邊緣射出時(shí)，粒子的速度最大，根據(jù)粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)，通過偏轉(zhuǎn)位移求出偏轉(zhuǎn)的電壓，再通過動(dòng)能定理求出粒子射出電場(chǎng)時(shí)的最大速度．（2）設(shè)粒子射出電場(chǎng)速度方向與MN間夾角為θ，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)求出射出電場(chǎng)時(shí)的速度與初速度的關(guān)系，再根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求出半徑的表達(dá)式，從而求出入射點(diǎn)與出射點(diǎn)的距離表達(dá)式，看是否與夾角θ有關(guān)．（3）當(dāng)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓心角最大，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，圓心角最小，時(shí)間最短．類平拋運(yùn)動(dòng)豎直方向上的分速度越大，粒子射出電場(chǎng)速度方向與MN間夾角越小，圓心角越大，根據(jù)幾何關(guān)系求出最大圓心角和最小圓心角，即可求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間和最短時(shí)間．