Question

（16分）在如圖所示xoy坐標(biāo)系第一象限的三角形區(qū)域（坐標(biāo)如圖中所標(biāo)注）內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在x 軸下方有沿＋y方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E。將一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子（重力不計(jì)）從P（－a，0）點(diǎn)由靜止釋放。由于x軸上存在一種特殊物質(zhì)，使粒子每經(jīng)過一次x軸后速度大小變?yōu)榇┻^前的倍。

（1）欲使粒子能夠再次經(jīng)過x軸，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀最小是多少？
（2）在磁感應(yīng)強(qiáng)度等于第（1）問中B₀的情況下，求粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）若磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度變?yōu)榈冢?）問中B₀的2倍，求粒子運(yùn)動(dòng)的總路程。

Answer 1

（1）（2）（3）

⑴設(shè)粒子到O點(diǎn)時(shí)的速度為v₀，由動(dòng)能定理有
 解得（1分）
粒子經(jīng)過O點(diǎn)后，速度為v₁，（1分）
如圖甲所示，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后的軌跡圓與磁場(chǎng)邊界相切時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為B₀。設(shè)粒子軌道半徑為R₁，有（1分）
由得  （2分）
⑵如圖甲，粒子經(jīng)O₁點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域做勻減速運(yùn)動(dòng)，后又加速返回，再次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速率（1分）
此時(shí)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑（1分）
其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示，此后不再進(jìn)入磁場(chǎng)。由幾何
關(guān)系可知，
則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
（3分）
⑶若B=2B₀，粒子的運(yùn)動(dòng)情況如圖乙所示，

粒子經(jīng)過O
點(diǎn)第一次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速率仍為v₁，在磁場(chǎng)中做圓
周運(yùn)動(dòng)的半徑記為，由第⑴問可知，，（1分）
粒子從O₁點(diǎn)穿過x軸進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)速率為，運(yùn)動(dòng)到P₁點(diǎn)后返回，則由動(dòng)能定理
  解得 �。�1分）
當(dāng)粒子第二次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速率
做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為�。�1分）
粒子從O₂點(diǎn)穿過x軸進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)速率為，
運(yùn)動(dòng)到P₂點(diǎn)后返回，則由動(dòng)能定理  
解得 �。�1分）
…………
依此類推可知，當(dāng)粒子第n次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，其在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為，再進(jìn)入電場(chǎng)中前進(jìn)的距離�。�1分）
因此，粒子運(yùn)動(dòng)的總路程為
==�。�1分）