Question

16．如圖所示，光滑直角細桿POQ固定在豎直平面內(nèi)，OP邊水平，與OQ邊在O點用一小段圓弧桿平滑相連．質(zhì)量均為m的兩小環(huán)A、B用長為L的輕繩相連，分別套在OP和OQ桿上．初始時刻，將輕繩拉至水平位置伸直，然后同時釋放兩小環(huán)，A環(huán)到達O點后，在圓弧作用下速度大小不變，方向變?yōu)樨Q直向下（時間極短），已知重力加速度為g，下列說法正確的是 （　　）

• A． 當B環(huán)下落$\frac{L}{2}$時A環(huán)的速度大小為$\frac{\sqrt{gL}}{2}$
• B． A環(huán)到達O點的過程中，B環(huán)先加速后減速
• C． A環(huán)到達O點時速度大小為$\sqrt{gL}$
• D． A環(huán)到達O點后，再經(jīng)$\sqrt{\frac{L}{2g}}$的時間能追上B環(huán)

Answer 1

分析 A與B下降的過程中系統(tǒng)的機械能守恒，先由速度的合成與分解求出A、B速度的關(guān)系，然后即可求出A、B在不同點的速度；
根據(jù)勻變速直線運動的公式即可求出A追上B的時間．

解答 解：B環(huán)下落一段位移后，設(shè)繩子與水平方向之間的夾角為α，則與豎直方向之間的夾角β=90°-α
設(shè)此時A的速度為v_A，將A的速度沿繩子方向與垂直于繩子的方向分解，設(shè)沿繩子方向的分速度為v，如圖：

則：v=v_Acosα
設(shè)B的速度為vB，將B的速度也沿繩子的方向與垂直于繩子的方向分解如圖，其中沿繩子方向的分速度與A沿繩子方向的分速度是相等的，則：
v=v_Bcosβ
所以：${v}_{B}=\frac{{v}_{A}cosα}{cosβ}=\frac{{v}_{A}cosα}{cos（90°-α）}=\frac{{v}_{A}}{tanα}$
A、當B環(huán)下落$\frac{L}{2}$時繩子與水平方向之間的夾角：$sinα=\frac{\frac{1}{2}L}{L}=\frac{1}{2}$
所以：α=30°
則：${v}_{B}=\frac{{v}_{A}}{tan30°}=\sqrt{3}{v}_{A}$
B下降的過程中A與B組成的系統(tǒng)機械能守恒，得：
$mg•\frac{1}{2}L=\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
聯(lián)立得A環(huán)的速度大小為：v_A=$\frac{\sqrt{gL}}{2}$．故A正確；
B、B開始下降的過程中速度由0開始增大，所以是做加速運動．當繩子與豎直方向之間的夾角接近90°時，tanβ→∞，則：${v}_{B}=\frac{{v}_{A}}{tanα}$→0．可知當A到達O點時，B的速度等于0．所以B一定還存在減速的過程．即A環(huán)到達O點的過程中，B環(huán)先加速后減速．故B正確；
C、由于A到達O點時B的速度等于0，由機械能守恒得：$\frac{1}{2}mv{′}_{A}^{2}=mgL$
所以：${v}_{A}′=\sqrt{2gL}$．故C錯誤；
D、環(huán)A過O點后做加速度大于g的勻加速直線運動，B做自由落體運動．
當A追上B時：${v}_{A}′t+\frac{1}{2}g{t}^{2}=L+\frac{1}{2}g{t}^{2}$
所以：t′=$\sqrt{\frac{L}{2g}}$．故D正確．
故選：ABD

點評 該題結(jié)合機械能守恒考查運動的合成與分解，解答的關(guān)鍵是能看到A與B的速度不一定大小相等，但它們沿繩子方向的分速度大小相等！