Question

18．如圖所示，AB是傾角為θ的粗糙直軌道，BCD是光滑的圓弧軌道，AB恰好在B點(diǎn)與圓弧相切，圓弧的半徑為R．一個(gè)質(zhì)量為m的物體（可以看作質(zhì)點(diǎn)）從直軌道上的P點(diǎn)由靜止釋放，結(jié)果它能在兩軌道間做往返運(yùn)動(dòng)．已知P點(diǎn)與圓弧的圓心O等高，物體與軌道AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．求：
（1）物體做往返運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中在AB軌道上通過的總路程s；
（2）最終當(dāng)物體通過圓弧軌道最低點(diǎn)E時(shí)，對(duì)圓弧軌道的壓力的大��；
（3）為使物體能順利到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)D（E、O、D為同一條豎直直徑上的3個(gè)點(diǎn)），釋放點(diǎn)距B點(diǎn)的距離L應(yīng)滿足什么條件．

Answer 1

分析 ①對(duì)整個(gè)過程做好受力分析，利用動(dòng)能定理求摩擦力做的功；
②對(duì)BE過程由動(dòng)能定理可求得C點(diǎn)的速度，再對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)條件的分析和應(yīng)用；由向心力公式求解支持力；再由牛頓第三定律求解壓力；
③根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)中能過最高點(diǎn)的條件明確物體的速度，再對(duì)全程由動(dòng)能定理定式求解即可．

解答 解：（1）因?yàn)槟Σ潦冀K對(duì)物體做負(fù)功，所以物體最終在圓心角為2θ的圓弧上往復(fù)運(yùn)動(dòng)．
對(duì)整體過程由動(dòng)能定理得
mgR•cosθ-μmgcosθ•x=0
所以總路程為x=$\frac{R}{μ}$．
（2）對(duì)B→E過程，由動(dòng)能定理得
mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv_E^{2-------------------}①
F_N-mg=m$\frac{{V}_{E}^{2}}{R}$------------------②
由①②得對(duì)軌道壓力：F_N=（3-2cosθ）mg．
（3）設(shè)物體剛好到D點(diǎn)，則由向心力公式得
mg=m$\frac{{V}_{D}^{2}}{R}$------------------③
對(duì)全過程由動(dòng)能定理得
mgL′sinθ-μmgcosθ•L′-mgR（1+cosθ）=$\frac{1}{2}$mv_D^{2-----------------------}④
由③④得最少距離L′=$\frac{3+2cosθ}{2sinθ-2μcosθ}$•R．
答：（1）在AB軌道上通過的總路程為x=$\frac{R}{μ}$．
（2）對(duì)圓弧軌道的壓力為（3-2cosθ）mg
（3）釋放點(diǎn)距B點(diǎn)的距離L′至少為$\frac{3+2cosθ}{2sinθ-2μcosθ}$•R．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合應(yīng)用了動(dòng)能定理求摩擦力做的功、圓周運(yùn)動(dòng)及圓周運(yùn)動(dòng)中能過最高點(diǎn)的條件，對(duì)動(dòng)能定理、圓周運(yùn)動(dòng)部分的內(nèi)容考查的較全，是圓周運(yùn)動(dòng)部分的一個(gè)好題．