Question

2．一個質(zhì)量m=0.1kg的正方形金屬框，其電阻R=0.5Ω，金屬框放在表面絕緣且光滑的斜面頂端（金屬框上邊與AB重合），由靜止開始沿斜面下滑，下滑過程中穿過一段邊界與斜面底邊CD平行、寬度為d的勻強磁場后滑至斜面底端（金屬框下邊與CD重合）．設(shè)金屬 框在下滑過程中的速度為v，與此對應(yīng)的位移為S，那么v²-s圖象如圖2所示，已知勻強磁場 方向垂直嵙面向上，取g=10m/s²
（1）根據(jù)v²-s圖象所提供的信息，計算斜面的傾角θ和勻強磁場的寬度d
（2）計算勻強磁場的磁感應(yīng)強度B的大�。�
（3）現(xiàn)用平行于斜面沿斜面向上的恒力F₁作用在金屬框上，使金屬框從斜面底端CD（金屬 框下邊與CD重合）由靜止開始沿斜面向上運動，勻速通過磁場區(qū)域后，平行斜面沿斜面向上的恒力大小變?yōu)镕₂，直至金屬框到達(dá)斜面頂端（金屬框上邊與從AB重合）_c試計算恒力 F₁、F₂所做總功的最小值？（F₁、F₂雖為恒力，但大小均未知）．

Answer 1

分析 （1）從圖中可以看出，金屬框先做勻加速直線運動，再做勻速直線運動，再做勻加速直線運動，且磁場的寬度等于金屬框的邊長，根據(jù)v²-s圖象求出勻加速運動的加速度，根據(jù)牛頓第二定律求出斜面的傾角．根據(jù)勻速運動過程求得磁場寬度d．
（2）根據(jù)勻速直線運動時重力沿斜面方向的分力等于安培力求出磁感應(yīng)強度．
（3）未入磁場 F-mgsinθ=ma₂，進(jìn)入磁場F=mgsinθ+F_安，所以F_安=ma₂，通過安培力做功求出克服安培力做功產(chǎn)生的熱量，在整個過程中重力勢能的增加量可以求出，要計算恒力F做功的最小值，只要線框到達(dá)最高點的速度為0，此時做功最�。�然后根據(jù)能量守恒進(jìn)行求解．

解答 解：（1）從s=0到s=1.6米的過程中，由勻變速直線運動的速度位移公式得：
v²=2as，
則該段圖線斜率：a=5m/s²，
由牛頓第二定律得：mgsinθ=ma，
解得：θ=30⁰；
從線框下邊進(jìn)磁場到上邊出磁場，均做勻速運動，由圖示圖象可知：△s=2.6-1.6=1m，d=△s-L=0.5m；
（2）由圖象可知，線框通過磁場時，v₁²=16，v₁=4m/s，
安培力：F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$，
由平衡條件得：mgsinθ=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得：B=0.5T；
（3）金屬框在進(jìn)入磁場前，由牛頓第二定律得：
F₁-mgsinθ=ma₂，
在磁場中運動，由平衡條件得：F₁=mgsinθ+F_安，
解得：F_安=ma₂，
加速度為：a₂=$\frac{{v}^{2}}{2{s}_{3}}$，
安培力：F_安=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，
解得：v=2m/s，a₂=2.5m/s²，F(xiàn)_安=ma₂=0.25N，
最小功為：W=2F_安d+mgsinθ（s₁+s₂+s₃）
代入數(shù)據(jù)解得：W=1.95J；
答：（1）斜面的傾角θ=30⁰，勻強磁場的寬度為0.5m；
（2）勻強磁場的磁感應(yīng)強度B的大小為0.5T；
（3）所做總功的最小值為1.95J．

點評 解決本題的關(guān)鍵讀懂圖象，知道金屬框先做勻加速直線運動，再做勻速直線運動，再做勻加速直線運動，并能判斷出磁場的寬度等于金屬框的邊長．