Question

7．如圖所示，P、Q為水平面內平行放置的金屬長直導軌，間距為L₁=0.5m，處在磁感應強度大小為B₁=0.7T、方向豎直向下的勻強磁場中，一根質量為M=0.3kg、電阻為r=1Ω的導體桿ef垂直于P、Q放在導軌上，導體桿ef與P、Q之間的動摩擦因數為μ=0.1．在外力作用下導體桿ef向左做勻速直線運動，質量為m=0.2kg、每邊電阻均為r=1Ω、邊長為L₂=0.2m的正方形金屬框abcd置于豎直平面內，兩頂點a、b通過細導線與導軌相連，金屬框處在磁感應強度大小為B₂=1T、方向垂直框面向里的勻強磁場中，金屬框恰好處于靜止狀態(tài)，重力加速度g=10m/s²，不計其余電阻和細導線對a、b點的作用力，求：
（1）通過ab邊的電流I_ab；
（2）導體桿ef做勻速直線運動的速度v；
（3）t=1s時間內，導體桿ef向左移動時克服摩擦力所做的功；
（4）外力做功的功率P_外．

Answer 1

分析 （1）外電路是：ad、dc、cb三邊電阻串聯(lián)后再與ab邊電阻并聯(lián)構成，豎直方向上ab邊與cd邊所受安培力均向上，根據受力平衡列方程即可求解，注意并聯(lián)電路中電流與電阻關系．
（2）根據閉合電路歐姆定律求出電源的電動勢，根據E=BLv，即可求出導體棒的速度．
（3）摩擦力是恒力，可以直接用功的定義式求解．
（4）根據平衡條件，外力F等于安培力和摩擦力之和，求出F，用P=Fv求解．

解答 解：（1）設通過正方形金屬框的總電流為I，ab邊的電流為I_ab，dc邊的電流為I_dc，有：
I_ab=$\frac{3}{4}$I
I_cd=$\frac{1}{4}$I
金屬框受重力和安培力，處于靜止狀態(tài)，有：mg=B₂I_abL₂+B₂I_dcL₂
聯(lián)立三式解得：I_ab=$\frac{3mg}{4{B}_{2}{L}_{2}}$
故通過ab邊的電流I_ab是：I_ab=$\frac{3mg}{4{B}_{2}{L}_{2}}$
代入數據，解得：I_ab=$\frac{3×0.2×10}{4×1×0.2}$=7.5A．
（2）由（1）可得：I=$\frac{mg}{{B}_{2}{L}_{2}}$
設導體桿切割磁感線產生的電動勢為E，有：E=B₁L₁v
設ad、dc、cb三邊電阻串聯(lián)后與ab邊電阻并聯(lián)的總電阻為R，則：R=$\frac{3}{4}$r
R與ef串聯(lián)的總電阻R_總=$\frac{3}{4}$r+r=$\frac{7}{4}$r 
ef由于運動切割磁感線而產生的電動勢E=B₁L₁v
根據閉合電路歐姆定律，有：I=$\frac{E}{{R}_{總}}$
聯(lián)立以上各式：$\frac{mg}{{B}_{2}{L}_{2}}$=$\frac{{B}_{1}{L}_{1}v}{\frac{7r}{4}}$
則有：v=$\frac{7mgr}{4{B}_{1}{B}_{2}{L}_{1}{L}_{2}}$；
代入數據，解得：v=50m/s．
故導體桿ef的運動速度50m/s．
（3）摩擦力為恒力，可以用功的定義式求解：
W_f=μMgs=μMgvt=$\frac{7μMm{g}^{2}r}{4{B}_{1}{B}_{2}{L}_{1}{L}_{2}}$t；
代入數據，解得：W_f=15J
（4）ef棒在水平方向上受到外力F、安培力、摩擦力，根據平衡條件可知
F=F_A+μMg
因為F_A=B₁IL₁=$\frac{{B}_{1}{L}_{1}mg}{{B}_{2}{L}_{2}}$
所以外力F的功率為：
P_外=Fv=（F_A+μMg）v=$\frac{7{m}^{2}{g}^{2}r}{4{B}_{2}^{2}{L}_{2}^{2}}$+$\frac{7μMm{g}^{2}r}{4{B}_{1}{B}_{2}{L}_{1}{L}_{2}}$；
代入數據，解得：P_外=190W
答：（1）通過ab邊的電流I_ab為7.5A；
（2）導體桿ef做勻速直線運動的速度為50m/s；
（3）t=1s時間內，導體桿ef向左移動時克服摩擦力所做的功15J；
（4）外力做功的功率為190W．

點評 本題易錯點為不能正確分析外電路的串并聯(lián)情況，從而不能正確分析安培力大小最后導致錯誤．對于電磁感應與電路的結合問題一定分析整個電路的組成情況，然后根據閉合電路的歐姆定律求解．