Question

3．我國去年發(fā)射的探月衛(wèi)星“嫦娥一號”已正常工作整整一年．
（1）若“嫦娥一號”衛(wèi)星質(zhì)量為m，其繞月軌道為橢圓軌道，已知它在近月點時距離地面高度為h₁，速度為v₁，加速度為a₁，在遠月點時，距離地面高度為h₂，速度為v₂，月球半徑為R．則：①該衛(wèi)星由近月點到遠月點的過程中月球?qū)λ�的引力做了多少功�?br />②該衛(wèi)星在遠月點時運動的加速度a₂多大？
（2）若把月球和地球都視為質(zhì)量均勻的球體，已知地球和月球的半徑之比$\frac{r_1}{r_2}=\frac{1}{3.6}$，月球表面和地球表面的重力加速度之比$\frac{g_1}{g_2}=\frac{1}{6}$，求：月球和地球的密度之比$\frac{ρ_1}{{{ρ_{\;}}}}$（保留兩位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）①由遠地點點到近地點點的過程只有萬有引力做功，根據(jù)動能定理列式求解即可；②萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律兩次列式后聯(lián)立求解即可．
（2）根據(jù)物體的重力約等于其萬有引力，可得到月球與地球的質(zhì)量之比，再質(zhì)量與體積之比求出密度之比．

解答 解：（1）①衛(wèi)星運動過程中只有引力做功，根據(jù)動能定理有：
引力對衛(wèi)星做的功：$W=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
②設(shè)月球的質(zhì)量為M，由牛頓第二定律得：
近地點：${a}_{1}=\frac{GM}{（R+{h}_{1}）^{2}}$
遠地點：${a}_{2}=\frac{GM}{（R+{h}_{2}）^{2}}$
所以可知a₂=$（\frac{R+{h}_{1}}{R+h2}）^{2}{a}_{1}$
（2）：設(shè)月球質(zhì)量為M₁，地球質(zhì)量為M₂，則質(zhì)量為m的物體分別在月球和地球表面時的重力與萬有引力相等，有：
$G\frac{{M}_{1}m}{{r}_{1}^{2}}=m{g}_{1}$
$G\frac{{M}_{2}m}{{r}_{2}^{2}}=m{g}_{2}$
又由于M₁=ρ₁$\frac{4}{3}$$π{r}_{1}^{3}$，M₂=${ρ}_{2}\frac{4}{3}π{r}_{2}^{3}$
由以上各式解得：$\frac{{ρ}_{1}}{{ρ}_{2}}=\frac{{g}_{1}{r}_{2}}{{g}_{2}{r}_{1}}=\frac{1×3.6}{6}=0.60$
答：（1）①該衛(wèi)星由近月點到遠月點的過程中月球?qū)λ�的引力做的功為�?\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
②該衛(wèi)星在遠月點時運動的加速度a₂為$（\frac{R+{h}_{1}}{R+h2}）^{2}{a}_{1}$；
（2）月球和地球的密度之比$\frac{ρ_1}{{{ρ_{\;}}}}$=0.60．

點評 本題關(guān)鍵讀懂題意，找出有用信息，并能運用動能定理求、根據(jù)牛頓第二定律求加速度，基礎(chǔ)題；根據(jù)天體的半徑和表面重力加速度，根據(jù)重力等于萬有引力，求天體的質(zhì)量是基本題型．