Question

【題目】足夠長的光滑水平面上，有10個(gè)相同的小球沿直線等間隔均勻分布，總長度為l，并以相同的速度v0向右運(yùn)動(dòng)，如圖甲所示。在小球的正前方有一“加速帶”AB，當(dāng)小球從左端A進(jìn)入加速帶后在水平恒力作用下被加速，直至從右端B離開，小球經(jīng)過加速帶前后速度的變化情況如圖乙所示。已知1號(hào)球剛從B端離開時(shí)，4號(hào)球剛好從A端進(jìn)入。不考慮球的大小，試求

(1)10個(gè)小球最終分布的總長度。

(2)加速帶對(duì)10個(gè)小球做功的總功率P。已知小球在加速帶上所受水平恒力為F。

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）已知1號(hào)球剛從B端離開時(shí)，4號(hào)球剛好從A端進(jìn)入，因此1、4號(hào)兩球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間有一定的關(guān)系；在運(yùn)動(dòng)示意圖中補(bǔ)畫出1號(hào)球剛從A端進(jìn)入時(shí)，2、3、4號(hào)球的位置關(guān)系；結(jié)合題中條件求出此時(shí)4號(hào)球與1號(hào)球之間的距離，根據(jù)題意和圖示，利用“等時(shí)性”，把1號(hào)球在加速帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間轉(zhuǎn)化為4號(hào)球做勻速運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間。小球離開加速帶后以3v0 做勻速運(yùn)動(dòng)；已知1號(hào)球剛從B端離開時(shí)，4號(hào)球剛好從A端進(jìn)入，在運(yùn)動(dòng)示意圖中補(bǔ)畫出4號(hào)球剛從B端離開時(shí)，1、2、3號(hào)球的位置關(guān)系；利用“等時(shí)性”，把1號(hào)球在右側(cè)做勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間轉(zhuǎn)化為4號(hào)球在加速帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而可以求出4號(hào)球剛從B端離開時(shí)1、4號(hào)兩球之間的距離，推算出小球離開加速帶后相鄰小球的間隔距離，則最終10個(gè)小球分布的總長度L等于9個(gè)間隔距離。

（2）已知小球在加速帶上運(yùn)動(dòng)的平均速度為2v0，且求出了小球在加速帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間T，據(jù)此可求出加速帶的長度；已知物體加速帶上受到的水平恒力為F，可求出加速帶對(duì)10個(gè)小球所做的總功；補(bǔ)畫出10號(hào)球的運(yùn)動(dòng)示意圖，根據(jù)題意和圖示可知，加速帶對(duì)10個(gè)小球的做功時(shí)間等于1號(hào)球剛從A端進(jìn)入到10號(hào)球剛從B端離開所用的時(shí)間，再把該時(shí)間轉(zhuǎn)化為10號(hào)球運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間；最后根據(jù)功率公式求出加速帶對(duì)10個(gè)小球做功的總功率P。

（1）“最終”是指10個(gè)小球全部離開了加速帶。根據(jù)圖乙可知，所有小球從加速帶B端出來后速度都被加速到了3v0，且保持這個(gè)速度不變，這就意味著一旦10個(gè)小球全部從B端出來后，它們的總長度也會(huì)保持不變。這個(gè)長度就是10號(hào)球剛離開B端時(shí)，它與1號(hào)間的距離。

由于每個(gè)小球在加速帶上運(yùn)動(dòng)的情況完全相同，因此，小球依次從B 端離開加速帶的時(shí)間差等于依次進(jìn)入加速帶的時(shí)間差。這樣，10號(hào)球與1號(hào)球出加速帶的時(shí)間差與進(jìn)入加速帶的時(shí)間差Δt相等，而

故10號(hào)球剛從B端出來時(shí)，1號(hào)與10號(hào)間的距離L=3v0Δt

解得L=3l

此即10個(gè)小球最終分布的總長度。

（2）因加速帶對(duì)10個(gè)小球做功并不同步，故對(duì)10個(gè)小球做功的總功率要小于對(duì)單個(gè)小球做功的功率之和。

小球在加速帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

小球在加速帶上運(yùn)動(dòng)的平均速度

故加速帶長度為

因而加速帶對(duì)10個(gè)小球所做總功為W=10FL0

加速帶做功的總時(shí)間應(yīng)是從1號(hào)球進(jìn)入加速帶A端開始，直到10號(hào)球離開加速帶B端為止，這段時(shí)間即t=Δt +T

又加速帶對(duì)10個(gè)小球做功的總功率為

解得P=5Fv0