Question

10．已知某星球的半徑為R，在該星球的表面航天員以初速度v₀水平拋出的小球經(jīng)過時(shí)間t落到一傾角為θ的斜面上時(shí)，其速度方向與斜面垂直，不計(jì)一切阻力，忽略星球的自轉(zhuǎn)，引力常量為G，求：
（1）該星球的質(zhì)量．
（2）該星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）將小球的速度進(jìn)行分解，根據(jù)平行四邊形定則求出豎直分速度，結(jié)合速度時(shí)間公式求出星球表面的重力加速度，根據(jù)萬有引力等于重力求出星球的質(zhì)量．
（2）根據(jù)星球表面的重力加速度，結(jié)合重力提供向心力求出星球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）小球速度方向與斜面垂直，根據(jù)平行四邊形定則知，tanθ=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}}$，則豎直分速度${v}_{y}=\frac{{v}_{0}}{tanθ}$，
根據(jù)v_y=gt得，
星球表面的重力加速度g=$\frac{{v}_{0}}{ttanθ}$．
根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，星球的質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{{v}_{0}{R}^{2}}{Gttanθ}$．
（2）根據(jù)mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得，該星球的第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{{v}_{0}R}{ttanθ}}$．
答：（1）星球的質(zhì)量為$\frac{{v}_{0}{R}^{2}}{Gttanθ}$；
（2）星球的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{{v}_{0}R}{ttanθ}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬有引力定律和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，通過平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出星球表面的重力加速度是解決本題的關(guān)鍵，掌握萬有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．